$\displaystyle f(x)=\frac{\sin x-x \cos x}{\displaystyle\frac{2}{\pi}-\cos x}$，$\displaystyle g(x)=\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{4}$とする．$\displaystyle \frac{\pi}{2}<x<\pi$のとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)>0$を示せ．
(3)$\displaystyle \frac{\pi}{2}<f(x)<\pi$を示せ．
(4)$f(x)<g(x)$を示せ．

自然数$n$に対して，$\displaystyle f_n(x)=\int_0^x \frac{dt}{(t^2+1)^n}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f_1(1)$を求めよ．
(2)$\displaystyle g(x)=f_1 \left( \frac{1}{x} \right)$とおく．$g^\prime(x)$を求め，$x>0$のとき
\[ f_1(x)+g(x)=\frac{\pi}{2} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f_1(x)$を求めよ．
(4)部分積分法を用いて，
\[ f_n(x)=\frac{x}{(x^2+1)^n}+2nf_n(x)-2nf_{n+1}(x) \]
が成り立つことを示せ．
(5)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f_n(x)=\frac{\comb{2n-3}{n-1}}{{2}^{2n-2}} \pi (n \geqq 2)$であることを示せ．ただし，$\displaystyle \comb{m}{k}=\frac{m!}{(m-k)!k!}$とする．

$\displaystyle y=f(x)=\tan x \left( -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2},\ -\infty<y<\infty \right)$の逆関数を$\displaystyle y=f^{-1}(x)=\tan^{-1}x \left( -\infty<x<\infty,\ -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)次の問に答えよ．

(i) $\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}$はいくらか．

(ii) $\displaystyle \tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{1}{3}=\tan^{-1} \frac{1}{4}+\tan^{-1} \frac{1}{x}$を満たす実数$x$を求めよ．

(2)次の問に答えよ．

(i) $y=f^{-1}(x)$のグラフの概形を描け．
(ii) $(ⅰ)$のグラフの点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{\pi}{4} \right)$における接線を求めよ．
(iii) 導関数$(\tan^{-1}x)^\prime$を求めよ．

(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx$を求めよ．

微分可能な関数$f(x)$と$2$つの定数$p,\ q$が次の条件を満たすとする．

「すべての実数$x,\ y$に対して，$f(x+y)=pf(x)+qf(y)$が成り立つ」
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(0) \neq 0$とする．

(i) $p+q=1$であることを示せ．
(ii) $f(x)$は定数関数であることを示せ．

(2)$f(0)=0$で$f(x)$が定数関数でないとする．

(i) $p=1$であることを示せ．
(ii) $a=f^\prime(0)$とするとき，$f(x)$を$a$を用いて表せ．

$a,\ b,\ c$を定数とし，$a \neq 0$とする．関数$f(x)$，$g(x)$をそれぞれ
\[ f(x)=ax^2+bx+c,\quad g(x)=f^\prime(x) \]
と定め，放物線$y=f(x)$および直線$y=g(x)$をそれぞれ$C$，$L$とする．$C$の軸は$x=1$であり，$C$と$L$はともに点$(2,\ 2)$を通る．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)$C$を$y$軸方向に$d$だけ平行移動させた曲線を$D$とする．$D$は$L$と$2$点で交わり，その$2$点間の距離は$4 \sqrt{5}$である．この$2$点の座標，および$d$の値を求めよ．
(3)$L$と$D$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線が点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2 \sqrt{2}} \right)$を通るような$t$の値を求めよ．
(3)$t$を$(2)$で求めた値とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=t$によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

座標平面において，点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(1,\ 1)$がある．方程式$y=-ax+2a+2$が表す直線を$\ell$とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)直線$\ell$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{A}^\prime$とする．$\mathrm{A}^\prime$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$\ell$上を動くときの$\mathrm{OP}+\mathrm{PA}$の最小値を，$a$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{OP}+\mathrm{PA}$の最小値を$f(a)$とするとき，$f(a)$を最大にするような$a$の値を求めなさい．

以下の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{{(1+i)}^3}{-2+3i}=a+bi$を満たす実数$a,\ b$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(2)$3$つの行列の積$\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
4 & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
1 \\
4
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
2 & 3
\end{array} \right)$を計算せよ．
(3)$f(x)={(x+4)}^{\frac{5}{6}}{(3x+2)}^{\frac{4}{3}}$とする．関数$f(x)$の$x=0$における微分係数$f^\prime(0)$を求めよ．
(4)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos \frac{k \pi}{3n}$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{3 \sqrt{3}}{\sin x}-\frac{1}{\cos x} \left( 0<|x|<\frac{\pi}{2} \right)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減表を作成し，極値を求めよ．
(2)$f(x)$の第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$は，$3$次式$P(t)=t(2t^2-1)$を用いて，
\[ f^{\prime\prime}(x)=3 \sqrt{3} P \left( \frac{1}{\sin x} \right)-P \left( \frac{1}{\cos x} \right) \]
と表されることを示せ．また，$\displaystyle 0<x_1<x_2<\frac{\pi}{2}$のとき$f^{\prime\prime}(x_1)>f^{\prime\prime}(x_2)$となることを示せ．
(3)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解は何個あるか．$k$の値によって分類せよ．
(4)$y=f(x)$の変曲点はただ$1$つ存在することを示せ．また，この変曲点が第何象限にあるか，調べよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$2$つの整数$a,\ b$が$1+\sqrt{2}=a+b \sqrt{2}$を満たすならば，$a=b=1$であることを示しなさい．ただし，$\sqrt{2}$が無理数であることは示さなくてよい．
(2)$k$を自然数とする．$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^{k+1}=a+b \sqrt{2}$を満たしているとき，$(1+\sqrt{2})^k=a^\prime+b^\prime \sqrt{2}$を満たす整数$a^\prime,\ b^\prime$を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(3)すべての自然数$n$に対して，
命題「$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^n=a+b \sqrt{2}$を満たしているならば，$(1-\sqrt{2})^n=a-b \sqrt{2}$である」
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．