関数$f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$を$x>0$で考える．$y=f(x)$のグラフの点$(a,\ f(a))$における接線を$\ell_a$とし，$\ell_a$と$y$軸との交点を$(0,\ Y(a))$とする．以下の問いに答えよ．ただし，実数$k$に対して$\displaystyle \lim_{t \to \infty}t^ke^{-t}=0$であることは証明なしで用いてよい．

(1)$Y(a)$がとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$0<a<b$である$a,\ b$に対して，$\ell_a$と$\ell_b$が$x$軸上で交わるとき，$a$のとりうる値の範囲を求め，$b$を$a$で表せ．
(3)$(2)$の$a,\ b$に対して，$Z(a)=Y(a)-Y(b)$とおく．$\displaystyle \lim_{a \to +0}Z(a)$および$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{Z^\prime(a)}{a}$を求めよ．

実数$a,\ b$は$a>b>0$および$a^2-b^2=2ab$を満たすとする．$xy$平面上で$(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$ $(0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$によって媒介変数表示された楕円を$C$とする．点$\displaystyle \mathrm{P}(b \cos t,\ a \sin t) \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$と$C$上の動点$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$に対し，$f(\theta)=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$とおく．

(1)$f^\prime(\theta)=0$であるとき，$\sin 2\theta=\sin (\theta-t)$が成り立つことを示せ．
(2)$f^\prime(\theta)=0$となる$\theta$を$t$を用いて表せ．
(3)$f^\prime(\theta)=0$となる$\theta$がちょうど$3$つとなる$t$の値を求めよ．
(4)$t$を$(3)$で求めた値とする．このとき，$f^\prime(\theta)=0$となる各$\theta$に対応する$C$上の$3$点を頂点とする三角形の面積を$a,\ b$を用いて表せ．

楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$の焦点を$\mathrm{F}(a,\ 0)$，$\mathrm{F}^\prime(-a,\ 0)$とおく．ただし，$a>0$とする．また，$C$上の点$\mathrm{P}(b,\ c)$に対して，$\angle \mathrm{FPF}^\prime$の二等分線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$bc \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{F}^\prime \mathrm{P}:\mathrm{FP}=\mathrm{F}^\prime \mathrm{Q}:\mathrm{FQ}$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{FQ}}{\mathrm{FP}}$の値を求めよ．
(3)直線$\mathrm{PQ}$の傾きは$\displaystyle \frac{4c}{b}$であることを示せ．

関数$f(x)$は，$f^{\prime\prime}(x)<0$をみたすとする．$t \geqq 0$のとき，次の$(1)$，$(2)$の不等式が成り立つことを示せ．

(1)$f(0)+f^\prime(t)t \leqq f(t) \leqq f(0)+f^\prime(0)t$

(2)$\displaystyle \frac{f(0)t+f(t)t}{2} \leqq \int_0^t f(u) \, du \leqq f(0)t+\frac{f^\prime(0)}{2}t^2$

関数$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+1} |\log(2-t)| \, dt (0<x<1)$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(1)$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$f(x)$を最小にする$x$の値を求めよ．

$f(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．ただし，対数は自然対数である．

(1)$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$y=1$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)曲線$C$，直線$y=1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)=\log (1+x^2)$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 \log (1+x^2) \, dx$を求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$の増減を調べ，$y=f^\prime(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$C:y=f(x)$と曲線$C$の互いに直交している$2$本の接線とで囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

整数$m,\ n$は$m \geqq 1$，$n \geqq 2$をみたすとする．次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，$y=\log x$の第$1$次導関数$y^\prime$と第$2$次導関数$y^{\prime\prime}$を求めよ．
(2)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(m,\ \log m)$，$\mathrm{B}(m+1,\ \log m)$，$\mathrm{C}(m+1,\ \log (m+1))$を頂点とする三角形の面積を$S_m$とする．$S_m$を$m$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle f(m)=\log m+S_m-\int_m^{m+1} \log x \, dx$とおく．$f(m)<0$が成り立つことを，$y=\log x$のグラフを用いて説明せよ．
(4)$f(1)+f(2)+\cdots +f(n-1)<0$であることを用いて，不等式
\[ \log 1+\log 2+\cdots +\log (n-1)<n \log n-n+1-\frac{1}{2} \log n \]
を証明せよ．
(5)不等式$\displaystyle n!<e \sqrt{n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$を証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{{2}^x}$とし，$f^\prime(x)$を$f(x)$の導関数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)定数$c$を$0 \leqq c \leqq 2$とする．このとき，$0 \leqq x \leqq 2$を満たす$x$に対して，不等式
\[ f(x) \leqq f^\prime(c)(x-c)+f(c) \]
が成り立つことを示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか述べよ．
(2)$n$を自然数とする．$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$は$0$以上の実数で，$x_1+x_2+\cdots +x_n=2$を満たすとする．このとき，不等式
\[ f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n) \leqq n f \left( \frac{2}{n} \right) \]
が成り立つことを示せ．また，等号が成立するのはどのようなときか述べよ．

$a>0$，$b>1$とする．関数$f_1(x)=-2x^2-x+3$と$f_2(x)=ax^2-a(b+1)x+ab$に対し，関数$f(x)$を$x \leqq 1$のとき$f(x)=f_1(x)$，$x>1$のとき$f(x)=f_2(x)$と定める．また関数$g(x)$を$\displaystyle g(x)=\int_{-\frac{3}{2}}^x f(t) \, dt$と定める．次の問いに答えよ．

(1)微分係数${f_1}^\prime(1)$と${f_2}^\prime(1)$が等しくなるための$a,\ b$の関係式を求めよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$で求めた関係式を満たすとする．$g(x)$の最小値を$b$の値によって場合分けをして求めよ．