以下の各問に答えよ．

(1)製品が$50$個あり，そのうち$5$個が不良品である．この$50$個の中から$2$個を同時に取り出す検査で，不良品が見つかる確率を求めよ．
(2)平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とする．また，$\triangle \mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{DG}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．$\mathrm{EF}=9$のとき，線分$\mathrm{AG}$の長さを求めよ．
(3)下の図において，直線$\ell$は$2$つの円$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$の共通接線で，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は接点である．円$\mathrm{O}$の半径を$5$，円$\mathrm{O}^\prime$の半径を$3$とし，$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$間の距離を$10$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．
（図は省略）

$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$とし，$a,\ b,\ c$は実数とする．$y=f(x)$によって表される曲線を$C$とおく．$C$は$x$軸と点$(-1,\ 0)$でのみ交わるとする．さらに，$C$の接線で傾きが$-1$のものがただ一つ存在するとし，それを$\ell$とする．

(1)$f^\prime(-1)>0$となることを示せ．
(2)$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$C$と$\ell$の接点の$x$座標が$1$であるとき，$C$と$\ell$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

どの頂角も${180}^\circ$より小さい四角形$\mathrm{ABCD}$（図$1$）があり，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{W}$とする．この四角形を$2$つの三角形$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{ACD}$に分割し（図$2$），それぞれの三角形の重心を$\mathrm{G}_1$，$\mathrm{G}_1^\prime$とする．また，同じ四角形を$2$つの三角形$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{BCD}$に分割し（図$3$），それぞれの三角形の重心を$\mathrm{G}_2$，$\mathrm{G}_2^\prime$とする．さらに線分$\mathrm{G}_1 \mathrm{G}_1^\prime$と線分$\mathrm{G}_2 \mathrm{G}_2^\prime$の交点を$\mathrm{G}$とする．実数$l,\ m$は
\[ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=l \overrightarrow{\mathrm{AB}}+m \overrightarrow{\mathrm{AD}} \]
を満たすとする．以下の問に答えなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AG}_1}$，$\overrightarrow{\mathrm{AG}_1^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{AG}_2}$はそれぞれ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AG}_1}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}),\quad \overrightarrow{\mathrm{AG}_1^\prime}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}),\quad \overrightarrow{\mathrm{AG}_2}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}) \]
となるが，$\overrightarrow{\mathrm{AG}_2^\prime}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表しなさい．
(2)$0<p_1<1,\ 0<p_2<1$に対して，線分$\mathrm{G}_1 \mathrm{G}_1^\prime$を$p_1:1-p_1$に内分する点を$\mathrm{H}_1$とし，線分$\mathrm{G}_2 \mathrm{G}_2^\prime$を$p_2:1-p_2$に内分する点を$\mathrm{H}_2$とする．このとき，


$\overrightarrow{\mathrm{AH}_1}=(1-p_1) \overrightarrow{\mathrm{AG}_1}+p_1 \overrightarrow{\mathrm{AG}_1^\prime}$
$\overrightarrow{\mathrm{AH}_2}=(1-p_2) \overrightarrow{\mathrm{AG}_2}+p_2 \overrightarrow{\mathrm{AG}_2^\prime}$


となるが，特に$\mathrm{H}_1=\mathrm{H}_2=\mathrm{G}$としたとき，$p_1,\ p_2$を$l,\ m$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$と同じく$\mathrm{H}_1=\mathrm{H}_2=\mathrm{G}$としたとき，以下の式が成り立つことを示しなさい．
\[ \frac{\mathrm{G}_1^\prime \mathrm{G}}{\mathrm{G}_1 \mathrm{G}}=\frac{m}{l}=\frac{\mathrm{BW}}{\mathrm{DW}} \]
（図は省略）

次の問いに答えなさい．

(1)等式$f(x)-3f^\prime(x)=(x+3)(x-3)$を満たす$2$次関数$f(x)$を求めなさい．
(2)$0 \leqq x \leqq 4$の範囲において，$x=3$のとき最小値$12$をとり，最大値が$21$である$2$次関数$g(x)$を求めなさい．
(3)上記の$(1)$と$(2)$で求めた$2$次関数$f(x)$，$g(x)$のグラフをそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．このとき，$C_1$，$C_2$の両方に接する直線と$C_1$，$C_2$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

座標平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_0$に，半径$1$の円$C_1$が外接しながらすべることなく回転する．点$\mathrm{A}$を動く円$C_1$の中心とし，点$\mathrm{P}$を円$C_1$の円周上の定点とする．最初，点$\mathrm{A}$は座標$(2,\ 0)$の位置にあり，点$\mathrm{P}$は座標$(1,\ 0)$の位置にある．円$C_1$が円$C_0$の周りを反時計まわりに一周し，点$\mathrm{A}$が座標$(2,\ 0)$に戻ってくるとき，点$\mathrm{P}$のえがく曲線を$C$とする．動径$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の部分から角$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$だけ回転した位置にあるとき，点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標$(x(\theta),\ y(\theta))$について，
\[ x(\theta)=2 \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y(\theta)=2 \sin \theta-\sin 2\theta \]
が成り立つことを示せ．
(2)導関数$\displaystyle \frac{d}{d\theta} x(\theta)$を求め，$x(\theta)$の$\theta$に関する増減表を作成せよ．ただし，凹凸については言及しなくてよい．
(3)曲線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

$f(x)$と$g(x)$は$x$の整式で
\[ \begin{array}{l}
f(x)-f(0)=4x^3-5x^2+2x, \\
(2x-1)\{g(x)-g(0)\}=f(x)+2 \int_0^x (x-t)g^\prime(t) \, dt+\int_0^2 g(t) \, dt
\end{array} \]
を満たすとする．ただし，$g^\prime(t)$は$g(t)$の導関数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)等式
\[ -\{g(x)-g(0)\}=f(x)-2 \int_0^x tg^\prime(t) \, dt+\int_0^2 g(t) \, dt \]
が成り立つことを示せ．
(2)$f(x)$が極小値$\displaystyle \frac{9}{4}$をとるとき，$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$の外部にある点$\mathrm{P}(a,\ b)$から$C$にひいた$2$本の接線と$C$との接点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{H}^\prime$とする．$\angle \mathrm{OPH}=\theta$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{PH}$の長さ，および$\sin \theta$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{HH}^\prime=\mathrm{OP}$となるような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

円$C:x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}$における接線を$\ell$とする．点$(1,\ 0)$を通り$\ell$と平行な直線を$m$とする．直線$m$と円$C$の$(1,\ 0)$以外の共有点を$\mathrm{P}^\prime$とする．ただし，$m$が直線$x=1$のときは$\mathrm{P}^\prime$を$(1,\ 0)$とする．

円$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t)$から点$\mathrm{P}^\prime(s^\prime,\ t^\prime)$を得る上記の操作を$\mathrm{T}$と呼ぶ．

(1)$s^\prime,\ t^\prime$をそれぞれ$s$と$t$の多項式として表せ．
(2)点$\mathrm{P}$に操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返して得られる点を$\mathrm{P}_n$とおく．$\mathrm{P}$が$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2} \right)$のとき，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を図示せよ．
(3)正の整数$n$について，$\mathrm{P}_n=\mathrm{P}$となるような点$\mathrm{P}$の個数を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{3}} |\sin \theta| \, d\theta$とおく．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における$f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$を求めよ．

不等式$1 \leqq x^2+y^2 \leqq 4$が表す$xy$平面内の領域を$D$とする．$\mathrm{P}$を円$x^2+y^2=1$上の点，$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$を円$x^2+y^2=4$上の異なる$2$点とし，三角形$\mathrm{PQR}$は領域$D$に含まれているとする．$a,\ b$を実数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換により$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$は$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}$は$\mathrm{R}^\prime$に移されるとする．このとき，三角形$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が領域$D$に含まれるための$a,\ b$の必要十分条件を求めよ．ただし，三角形は内部も含めて考えるものとする．