次の各問いに答えよ．

(1)次の式を因数分解せよ．
\[ 2x^3+15x^2+6x-7 \]
(2)次の不等式を解け．
\[ 2^{2x}-2^{x+2}-32>0 \]
(3)赤玉$3$個，白玉$2$個，青玉$2$個を$1$列に並べるとき，並べ方は何通りあるか．
(4)次の値を求めよ．
\[ 8^{\log_2 5} \]
(5)次の条件をすべてみたす$2$次関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(0)=2,\quad f^\prime(0)=-5,\quad f^\prime(1)=1 \]
(6)次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_{-1}^2 (2x^2-4x+3) \, dx \]

$a$を実数とし，$f(x)=(x-a)(x^2-2x-11)$とおく．集合
\[ A=\{x \;\bigl|\; f(x)<0,\ x \text{は実数} \} \]
を考える．また，$n$を整数とし，集合

$I_n=\{x \;\bigl|\; x>n,\ x \text{は実数} \}$
$J_n=\{x \;\bigl|\; x<n,\ x \text{は実数} \}$

を考える．

(1)$a=-4$のとき，$J_n \supset A$となる$n$の最小値は$[ヘ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ホ]$である．
(2)$a=-4$，$n=-3$のとき，$I_n \cap A$に含まれる整数の個数は$[マ]$個である．
(3)$a=1$のとき，$I_n \cap A$が空集合でない$n$の最大値は$[ミ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ム]$である．
(4)$a=1$のとき，
\[ x<x^\prime \quad \text{かつ} \quad f(x)>m>f(x^\prime) \]
を満たす実数$x,\ x^\prime$が存在するような整数$m$の最小値は$[メ]$，最大値は$[モ]$である．
(5)$a=7$のとき，$J_n \supset A$となる$n$の最小値は$[ヤ]$であり，$J_n \subset A$となる$n$の最大値は$[ユ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)座標平面において，$1$次関数$y=4x+2$が表す直線を$\ell$とし，$\ell$上に点$\mathrm{P}(1,\ 6)$をとる．また，$2$次関数$y=f(x)$が表す放物線を$C$とする．

(i) $C$が点$\mathrm{P}$で$\ell$と接し，かつ$C$が点$(0,\ 1)$を通るとき，
\[ f(x)=[ア]x^2+[イ]x+[ウ] \]
である．
(ii) $C$が点$\mathrm{P}$で$\ell$と接するとき，$C$の頂点は直線
\[ y=[エ]x+[オ] \]
上に存在する。　

(2)複素数$z$の虚部を$\mathrm{Im}(z)$で表すことにする．
$2$次方程式$x^2-4x+9=0$の異なる$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし，$x^2-2x+2=0$の異なる$2$つの解を$\alpha^\prime,\ \beta^\prime$とする．ただし，$\mathrm{Im}(\alpha)>\mathrm{Im}(\beta)$および$\mathrm{Im}(\alpha^\prime)>\mathrm{Im}(\beta^\prime)$とする．このとき，$2$数$\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha^\prime},\ \frac{\beta}{\beta^\prime}$を解とする$2$次方程式の$1$つは，
\[ x^2+\left( [カ]+[キ] \sqrt{[ク]} \right)x+\frac{[ケ]}{[コ]}=0 \]
である．

$a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の関数
\[ F(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
は$x=\alpha$で極大になり，$x=\beta$で極小になるとする．曲線$y=F(x)$上の点$\mathrm{B}(\beta,\ F(\beta))$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$y=F(x)$の共有点のうち$\mathrm{B}$と異なるものを$(\gamma,\ F(\gamma))$とする．

(1)$x$の整式$F(x)-F(\beta)$を，$\beta,\ \gamma$を用いて$1$次式の積に因数分解された形で表せ．
(2)$\gamma$を$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．必要ならば$x$の整式で表される関数$p(x)$，$q(x)$とそれらの導関数に関して成り立つ公式
\[ \{p(x)q(x)\}^\prime=p^\prime(x)q(x)+p(x)q^\prime(x) \]
を用いてもよい．
(3)$f(x)=F^\prime(x)$とする．直線$x=\gamma$，$x$軸，および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形のうち$y \geqq 0$となる部分の面積$S$を，$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．さらに，$\displaystyle a-b \geqq \frac{3}{2}$が成り立つとき，$S$の最小値を求めよ．

$p$を正の定数として，関数$f(x)$を
\[ f(x)=-5x^p \log x \quad (x>0) \]
と定める．$a$は$f^\prime(a)=0$を満たす正の実数とする．ここで，$\log x$は自然対数であり，$e$は自然対数の底を表す．また，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数である．

(1)$a$の値を$p$を用いて表せ．
(2)不定積分$\int f(x) \, dx$を求め$p$を用いて表せ．
(3)直線$x=a$と$x$軸，および曲線$y=f(x)$の$a \leqq x \leqq 1$の部分で囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき，
\[ \lim_{p \to +0}S \]
の値を求めよ．必要ならば，$\displaystyle \lim_{u \to +0} \frac{e^{-\frac{1}{u}}}{u}=0$であることを用いてよい．

関数$f(x)=x+x \sqrt{1-x^2}$について以下の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし変曲点は求めなくてよい．
(3)$y=f(x)$のグラフと直線$y=x$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$k$は定数とする．楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$と直線$x+\sqrt{3}=ky$の共有点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$とする．また楕円の$2$つの焦点を$\mathrm{F}(\sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{F}^\prime (-\sqrt{3},\ 0)$とする．

(1)$\triangle \mathrm{PP}^\prime \mathrm{F}$の面積を$k$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{PP}^\prime \mathrm{F}$の内接円の半径を最大にする$k$の値を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$a$を実数の定数とし，$x$の関数$f(x)=ax^2+4ax+a^2-1$を考える．区間$-4 \leqq x \leqq 1$における関数$f(x)$の最大値が$5$であるとき，定数$a$の値を求めなさい．
(2)$f(x)$および$g(x)$は$x=a$で微分可能な関数とする．このとき，極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)g(a+5h)-f(a)g(a)}{h} \]
を$f(a)$，$g(a)$および微分係数$f^\prime(a)$，$g^\prime(a)$を用いて表しなさい．

次の文章の$[ア]$から$[ム]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めなさい．

(1)$c$を定数として，$3$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{3}x(x-1)(x-c) \]
と定める．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$において
\[ f^\prime(\alpha)=0,\quad f^\prime(\beta)=0 \]
を満たすものとする．
解と係数の関係により，
\[ \alpha+\beta=\frac{[ア]}{[イ]}(c+1),\quad \alpha\beta=\frac{1}{[ウ]}c \]
である．したがって


$\displaystyle\frac{f(\alpha)-f(\beta)}{\alpha-\beta}=-\frac{[エ]}{[オ][カ]}(c^2-c+[キ])$

$\displaystyle (\alpha-\beta)^2=\frac{[ク]}{[ケ]}(c^2-c+1)$


となるので，$\displaystyle c=\frac{1}{2}$のとき
\[ f(\alpha)-f(\beta)=\frac{\sqrt{[コ]}}{[サ][シ]} \]
である．
(2)定数$\theta$に対して，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\cos (2^{n-1}\theta) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．

(i) 余弦の$2$倍角の公式により，数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+1}=[ス] {a_n^2}-1 \]
を満たす．
(ii) $\theta$が$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{3}$を満たすとき
\[ a_3=\frac{[セ][ソ]}{[タ][チ]} \]
である．
(iii) $\displaystyle \theta=\frac{5}{96}\pi$とするとき
\[ a_{n+1}=a_n \]
を満たす最小の正の整数$n$は$[ツ]$である．

(3)大，中，小の$3$個のさいころを同時に投げるものとする．

(i) $1$の目が少なくとも$1$つ出る確率は$\displaystyle \frac{[テ][ト]}{[ナ][ニ][ヌ]}$である．
(ii) 出る目の最大値が$5$である確率は$\displaystyle \frac{[ネ][ノ]}{[ハ][ヒ][フ]}$である．
(iii) 大のさいころの目は中のさいころの目以上であり，かつ，小のさいころの目は中のさいころの目以下である確率は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ][マ]}$である．
\mon[$\tokeishi$] 大と小のさいころの目の平均が中のさいころの目と等しい確率は$\displaystyle \frac{1}{[ミ][ム]}$である．

次の条件によって定められる関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
\[ f_1(x)=(3x+5)e^{2x},\quad f_{n+1}(x)={f_n}^{\prime}(x) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$f_2(x)=([ア]x+[イウ])e^{2x}$である．
(2)$f_n(x)=(a_nx+b_n)e^{2x}$（$a_n,\ b_n$は定数）とおくと，
\[ a_1=[エ],\quad b_1=[オ],\quad \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=[カ]a_n \\
b_{n+1}=a_n+[キ]b_n
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．
(3)$a_n=[ク] \cdot {[ケ]}^{n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(4)$\displaystyle c_n=\frac{b_n}{2^n}$とおくと，$\displaystyle c_{n+1}=c_n+\frac{[コ]}{[サ]} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．よって，$\displaystyle c_n=\frac{[シ]n+[ス]}{[セ]}$，つまり$b_n={[ソ]}^{n-2}([タ]n+[チ]) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．ゆえに
\[ f_n(x)={[ツ]}^{n-2}([テ]x+[ト]n+[ナ])e^{2x} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
である．