「導関数」について
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国立 電気通信大学 2015年 第2問関数$f(t),\ g(t)$を次のように定義する．ただし，$e$は自然対数の底とする．
\[ f(t)=(t-1)e^{-t},\quad g(t)=(t-1)^2e^{-t} \]
$xy$平面上の曲線$C$が，媒介変数$t$を用いて
\[ x=f(t),\quad y=g(t) \quad (1 \leqq t \leqq 3) \]
と表されるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(t)=g(t)$となる$t$の値を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．さらに，$\alpha \leqq t \leqq \beta$のとき，$f(t) \geqq g(t)$であることを示せ．
(2)導関数$f^\prime(t),\ g^\prime(t)$をそれぞれ求めよ．さらに，区間$\alpha \leqq t \leqq \beta$において，関数$f(t)$，$g(t)$がともに単調に増加することを示せ．
(3)次の定積分をそれぞれ求めよ．
\[ I_1=\int_0^1 ue^{-2u} \, du,\quad I_2=\int_0^1 u^2 e^{-2u} \, du,\quad I_3=\int_0^1 u^3e^{-2u} \, du \]
(4)曲線$C$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
\[ f(t)=(t-1)e^{-t},\quad g(t)=(t-1)^2e^{-t} \]
$xy$平面上の曲線$C$が，媒介変数$t$を用いて
\[ x=f(t),\quad y=g(t) \quad (1 \leqq t \leqq 3) \]
と表されるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(t)=g(t)$となる$t$の値を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．さらに，$\alpha \leqq t \leqq \beta$のとき，$f(t) \geqq g(t)$であることを示せ．
(2)導関数$f^\prime(t),\ g^\prime(t)$をそれぞれ求めよ．さらに，区間$\alpha \leqq t \leqq \beta$において，関数$f(t)$，$g(t)$がともに単調に増加することを示せ．
(3)次の定積分をそれぞれ求めよ．
\[ I_1=\int_0^1 ue^{-2u} \, du,\quad I_2=\int_0^1 u^2 e^{-2u} \, du,\quad I_3=\int_0^1 u^3e^{-2u} \, du \]
(4)曲線$C$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 電気通信大学 2015年 第3問次の関数$f(x),\ g(x)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す．
\[ f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}},\quad g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1}) \]
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$をそれぞれ求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求め，関数$f(x)$の増減を調べよ．さらに，$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)次の方程式がただ$1$つの実数解を持つような定数$m$の条件を求めよ．
\[ m \sqrt{x^2+1}=x+1 \]
(4)導関数$g^\prime(x)$を求めよ．さらに，$xy$平面上において，曲線$y=f(x)$，$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．図形$D$の面積$S$を求めよ．
(5)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
\[ f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}},\quad g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1}) \]
(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$をそれぞれ求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求め，関数$f(x)$の増減を調べよ．さらに，$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)次の方程式がただ$1$つの実数解を持つような定数$m$の条件を求めよ．
\[ m \sqrt{x^2+1}=x+1 \]
(4)導関数$g^\prime(x)$を求めよ．さらに，$xy$平面上において，曲線$y=f(x)$，$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．図形$D$の面積$S$を求めよ．
(5)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 豊橋技術科学大学 2015年 第3問二次関数$f(x)=x^2+ax+b$に関する以下の問いに答えよ．ただし，関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする．
【補足説明】$(2)$～$(5)$は，$(1)$で得られた$f(x)$を用いて解答すること．
(1)$f(x)$が$2f(x)=xf^\prime(x)+6$を満たすとき，$a=0$，$b=3$となることを示せ．
(2)点$(0,\ -1)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線が，$L_1:y=4x-1$，$L_2:y=-4x-1$になることを示せ．
(3)$2$本の接線$L_1,\ L_2$のなす角のうち鋭角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分を，$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
【補足説明】$(2)$～$(5)$は，$(1)$で得られた$f(x)$を用いて解答すること．
(1)$f(x)$が$2f(x)=xf^\prime(x)+6$を満たすとき，$a=0$，$b=3$となることを示せ．
(2)点$(0,\ -1)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線が，$L_1:y=4x-1$，$L_2:y=-4x-1$になることを示せ．
(3)$2$本の接線$L_1,\ L_2$のなす角のうち鋭角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(5)曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分を，$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．
国立 京都教育大学 2015年 第5問$a$は実数であるとする．$x$の関数$f(x)$を，
\[ f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{a-1}{2}x^2-ax+2 \]
により定義する．
\[ I=\int_0^6 |f^\prime(x)| \, dx \]
が最小になるような$a$の値と，そのときの$I$の値を求めよ．
\[ f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{a-1}{2}x^2-ax+2 \]
により定義する．
\[ I=\int_0^6 |f^\prime(x)| \, dx \]
が最小になるような$a$の値と，そのときの$I$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第4問微分可能な関数$f(x)$は，$2$つの条件$f^\prime(x)=xe^x$，$f(1)=0$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．
私立 慶應義塾大学 2015年 第3問$0<\theta _n<1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となる数列$\{\theta_n\}$を用いて，閉区間$[0,\ 1]$から始めて，以下のようにしていくつかの閉区間を残す操作を繰り返す．ただし，$a<b$とするとき，開区間$(a,\ b)$の長さは閉区間$[a,\ b]$の長さと等しく$b-a$である．
$1$回目の操作では，閉区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{1-\theta_1}{2} \right]$と$\displaystyle \left[ \frac{1+\theta_1}{2},\ 1 \right]$を残す．残った閉区間の個数を$k_1$，各閉区間の長さを$r_1$とおき，$s_1$を$s_1=k_1r_1$と定める．$k_1=2$，$\displaystyle r_1=\frac{1-\theta_1}{2}$，$s_1=1-\theta_1$である．
$n+1$回目の操作では，$n$回目の操作を終えて残った$k_n$個の長さ$r_n$の各閉区間から長さ$\theta_{n+1}r_n$の閉区間を取り除き，長さの等しい閉区間を$2$個ずつ残す．こうして残った閉区間の個数を$k_{n+1}$，各閉区間の長さを$r_{n+1}$とおき，$s_{n+1}$を$s_{n+1}=k_{n+1}r_{n+1}$と定める．
(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} r_n=[サ]$である．
(2)$\displaystyle \theta_n=\frac{2}{(n+1)(n+2)} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n=[シ]$である．
(3)$0<\theta<1$とし，$\theta_n=\theta (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，閉区間$[0,\ 1]$を定義域とする連続関数$f_n(x)$と実数$a_n$が次の条件を満たすとする．
\mon[条件：] $f_n(0)=0$で$f_n(1)=1$である．関数$f_n(x)$は，$n$回目までの操作で取り除いた各開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=0$となり，$n$回目の操作を終えて残った各閉区間から両端を除いた開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=a_n$となる．
このとき$a_n$を$\theta$と$n$を用いて表すと$a_n=[ス]$となる．関数$y=f_n(x) (0 \leqq x \leqq 1)$のグラフは折れ線になり，その長さを$l_n$とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} l_n=[セ]$となる．
$1$回目の操作では，閉区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{1-\theta_1}{2} \right]$と$\displaystyle \left[ \frac{1+\theta_1}{2},\ 1 \right]$を残す．残った閉区間の個数を$k_1$，各閉区間の長さを$r_1$とおき，$s_1$を$s_1=k_1r_1$と定める．$k_1=2$，$\displaystyle r_1=\frac{1-\theta_1}{2}$，$s_1=1-\theta_1$である．
$n+1$回目の操作では，$n$回目の操作を終えて残った$k_n$個の長さ$r_n$の各閉区間から長さ$\theta_{n+1}r_n$の閉区間を取り除き，長さの等しい閉区間を$2$個ずつ残す．こうして残った閉区間の個数を$k_{n+1}$，各閉区間の長さを$r_{n+1}$とおき，$s_{n+1}$を$s_{n+1}=k_{n+1}r_{n+1}$と定める．
(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} r_n=[サ]$である．
(2)$\displaystyle \theta_n=\frac{2}{(n+1)(n+2)} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$のとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}s_n=[シ]$である．
(3)$0<\theta<1$とし，$\theta_n=\theta (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，閉区間$[0,\ 1]$を定義域とする連続関数$f_n(x)$と実数$a_n$が次の条件を満たすとする．
\mon[条件：] $f_n(0)=0$で$f_n(1)=1$である．関数$f_n(x)$は，$n$回目までの操作で取り除いた各開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=0$となり，$n$回目の操作を終えて残った各閉区間から両端を除いた開区間において微分可能で${f_n}^\prime(x)=a_n$となる．
このとき$a_n$を$\theta$と$n$を用いて表すと$a_n=[ス]$となる．関数$y=f_n(x) (0 \leqq x \leqq 1)$のグラフは折れ線になり，その長さを$l_n$とおくと，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} l_n=[セ]$となる．
私立 早稲田大学 2015年 第1問関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$について，次の問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$t>0$を媒介変数として，$x=f^\prime(t)$，$y=f(t)-tf^\prime(t)$で表される曲線の概形を描け．
(3)$(2)$の曲線の接線が$x$軸と$y$軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$t>0$を媒介変数として，$x=f^\prime(t)$，$y=f(t)-tf^\prime(t)$で表される曲線の概形を描け．
(3)$(2)$の曲線の接線が$x$軸と$y$軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ．
私立 早稲田大学 2015年 第5問$a>0$とする．$xy$平面上に点$\mathrm{A}(-\sqrt{2}a,\ 0)$，$\mathrm{B}(\sqrt{2}a,\ 0)$を固定する．動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は条件$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}=4a$をみたすものとする．次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ．ただし，答のみでよい．
(2)$(1)$の曲線の$-\sqrt{2}a \leqq x \leqq \sqrt{2}a$の部分と，直線$x=-\sqrt{2}a$，直線$x=\sqrt{2}a$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を考える．この立体の体積$V$を求めよ．
(3)$(2)$の立体の表面積$S$を求めよ．ここで，$y=f(x)$のグラフの$p \leqq x \leqq q$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる曲面の面積は
\[ 2\pi \int_p^q \sqrt{\{f(x)\}^2+\{f(x)f^\prime(x)\}^2} \, dx \]
として計算してよい．
(1)点$\mathrm{P}$の軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ．ただし，答のみでよい．
(2)$(1)$の曲線の$-\sqrt{2}a \leqq x \leqq \sqrt{2}a$の部分と，直線$x=-\sqrt{2}a$，直線$x=\sqrt{2}a$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を考える．この立体の体積$V$を求めよ．
(3)$(2)$の立体の表面積$S$を求めよ．ここで，$y=f(x)$のグラフの$p \leqq x \leqq q$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる曲面の面積は
\[ 2\pi \int_p^q \sqrt{\{f(x)\}^2+\{f(x)f^\prime(x)\}^2} \, dx \]
として計算してよい．
私立 立教大学 2015年 第1問次の空欄$[ア]$～$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$が，$|\overrightarrow{a}|=5$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}-t \overrightarrow{b}|$の関係を満たすとき，$|\overrightarrow{c}|$の最小値は$[ア]$である．ただし，$t$は実数とする．
(2)整式$f(x)$を$x+5$で割ると余りが$-11$，$(x+2)^2$で割ると余りが$x+3$となる．このとき，$f(x)$を$(x+5)(x+2)^2$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$の部分集合$A,\ B$について，$\overline{A} \cap \overline{B}=\{1,\ 3\}$，$A \cup \overline{B}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8\}$であるとき，集合$A=[ウ]$である．ただし，$\overline{A}$は$A$の補集合，$\overline{B}$は$B$の補集合とする．
(4)さいころを$4$回投げるとき，偶数の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(5)ある細菌は$1$時間毎に分裂して個数が$2$倍になる．最初に$10$個あるとき，$100$万個を初めて超えるのは$[オ]$時間後である．ただし，$\log_{10}2=0.301$とし，整数で答えよ．
(6)複素数$z=a+i$について，$z^4$が実数となるとき，$z^4$のとりうる値は$[カ]$である．ただし，$a$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)関数$f(x)$が$f^\prime(x)=3x+2$と$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=4$をともに満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(8)$\displaystyle \sum_{k=1}^{25} (2k-1)^2$の値は$[ク]$である．
(1)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$が，$|\overrightarrow{a}|=5$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}-t \overrightarrow{b}|$の関係を満たすとき，$|\overrightarrow{c}|$の最小値は$[ア]$である．ただし，$t$は実数とする．
(2)整式$f(x)$を$x+5$で割ると余りが$-11$，$(x+2)^2$で割ると余りが$x+3$となる．このとき，$f(x)$を$(x+5)(x+2)^2$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$の部分集合$A,\ B$について，$\overline{A} \cap \overline{B}=\{1,\ 3\}$，$A \cup \overline{B}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8\}$であるとき，集合$A=[ウ]$である．ただし，$\overline{A}$は$A$の補集合，$\overline{B}$は$B$の補集合とする．
(4)さいころを$4$回投げるとき，偶数の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(5)ある細菌は$1$時間毎に分裂して個数が$2$倍になる．最初に$10$個あるとき，$100$万個を初めて超えるのは$[オ]$時間後である．ただし，$\log_{10}2=0.301$とし，整数で答えよ．
(6)複素数$z=a+i$について，$z^4$が実数となるとき，$z^4$のとりうる値は$[カ]$である．ただし，$a$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)関数$f(x)$が$f^\prime(x)=3x+2$と$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=4$をともに満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(8)$\displaystyle \sum_{k=1}^{25} (2k-1)^2$の値は$[ク]$である．
私立 自治医科大学 2015年 第25問関数$f(x)$は，等式$\displaystyle f(x)=3x^2 \int_{-1}^1 f(t) \, dt+x \int_0^1 \{f^\prime(t)\}^2 \, dt+\int_0^1 f(t) \, dt$を満たす．$\displaystyle f(0)-\frac{1}{4}$の値を求めよ．$\displaystyle \int_0^1 f(t) \, dt \neq 0$とする．