「導関数」について
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国立 富山大学 2015年 第2問関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f(x)>\frac{1}{b-a} \{(b-x)f(a)+(x-a)f(b) \} (a<x<b)$が成り立つことを示せ．
(2)$c$が$a<c<b$を満たすならば
\[ f(x) \leqq f^\prime(c)(x-c)+f(c) \quad (a<x<b) \]
が成り立つことを示せ．
(1)$\displaystyle f(x)>\frac{1}{b-a} \{(b-x)f(a)+(x-a)f(b) \} (a<x<b)$が成り立つことを示せ．
(2)$c$が$a<c<b$を満たすならば
\[ f(x) \leqq f^\prime(c)(x-c)+f(c) \quad (a<x<b) \]
が成り立つことを示せ．
国立 東京海洋大学 2015年 第4問座標平面上に曲線$C:y=x^4-2x^2+2x$がある．直線$\ell$は$C$に異なる$2$点で接している．このとき以下の問に答えよ．ただし${(x^4)}^\prime=4x^3$および$\displaystyle \int x^4 \, dx=\frac{x^5}{5}+D$（$D$は積分定数）となることを用いてよい．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3)実数$a$に対して，点$(0,\ a)$を通る$C$の接線の本数を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3)実数$a$に対して，点$(0,\ a)$を通る$C$の接線の本数を求めよ．
国立 長岡技術科学大学 2015年 第3問関数$f(x)={(\log x)}^2$とおく．$t$を正の数とするとき，下の問いに答えなさい．
(1)$f^\prime(x)$を求めなさい．
(2)$x=t$における$y=f(x)$の接線の方程式を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた接線と$y$軸との交点の$y$座標$g(t)$を求めなさい．
(4)$g(t)$の最小値と，その最小値を与える$t$の値を求めなさい．
(1)$f^\prime(x)$を求めなさい．
(2)$x=t$における$y=f(x)$の接線の方程式を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた接線と$y$軸との交点の$y$座標$g(t)$を求めなさい．
(4)$g(t)$の最小値と，その最小値を与える$t$の値を求めなさい．
国立 室蘭工業大学 2015年 第1問$a,\ b$を定数とし，関数$f(x)$を
\[ f(x)=x^3+ax+b \]
と定める．また，$f(-2)=-1$，$f^\prime(-2)=9$とする．
(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(-2,\ -1)$における接線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{A}$を通らない$\ell$に平行な$y=f(x)$の接線を$m$とする．このとき，$\ell$および$m$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$m$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
\[ f(x)=x^3+ax+b \]
と定める．また，$f(-2)=-1$，$f^\prime(-2)=9$とする．
(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(-2,\ -1)$における接線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{A}$を通らない$\ell$に平行な$y=f(x)$の接線を$m$とする．このとき，$\ell$および$m$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$m$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 東京海洋大学 2015年 第5問関数$f(x)$はすべての実数$x$について
\[ f(x)=x+e^x \int_0^x e^{-t} f(t) \, dt \]
を満たす．
(1)$f(0)$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)=2f(x)-x+1$が成り立つことを示せ．
(3)$g(x)=e^{-2x}f(x)$とする．$g^\prime(x)$を求めよ．
(4)$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=x+e^x \int_0^x e^{-t} f(t) \, dt \]
を満たす．
(1)$f(0)$の値を求めよ．
(2)$f^\prime(x)=2f(x)-x+1$が成り立つことを示せ．
(3)$g(x)=e^{-2x}f(x)$とする．$g^\prime(x)$を求めよ．
(4)$f(x)$を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第4問すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^\prime(x)$は連続とする．$f(x)$，$f^\prime(x)$が等式
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(0)$を求めよ．
(2)$f^\prime(0)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1+\left( f^\prime(x) \right)^2} \, dx$を求めよ．
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(0)$を求めよ．
(2)$f^\prime(0)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1+\left( f^\prime(x) \right)^2} \, dx$を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第5問すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^\prime(x)$は連続とする．$f(x)$，$f^\prime(x)$が等式
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(0)$を求めよ．
(2)$f^\prime(0)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1+\left( f^\prime(x) \right)^2} \, dx$を求めよ．
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(0)$を求めよ．
(2)$f^\prime(0)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1+\left( f^\prime(x) \right)^2} \, dx$を求めよ．
国立 群馬大学 2015年 第5問すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^\prime(x)$は連続とする．$f(x)$，$f^\prime(x)$が等式
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=1$，および$x$軸，$y$軸で囲まれた部分を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=1$，および$x$軸，$y$軸で囲まれた部分を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 山梨大学 2015年 第4問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$，$\mathrm{AB}=1$とする．点$\mathrm{A}^\prime$および点$\mathrm{B}^\prime$をそれぞれ$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AA}^\prime}=\frac{1}{a} \overrightarrow{\mathrm{OA}}$および$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BB}^\prime}=\frac{1}{b} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるようにとる．また，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，$\angle \mathrm{BAA}^\prime$の$2$等分線と$\angle \mathrm{ABB}^\prime$の$2$等分線の交点を$\mathrm{D}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$a,\ b,\ t$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が一直線上にあるとき，$t$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$a,\ b,\ t$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が一直線上にあるとき，$t$の値を求めよ．
国立 名古屋大学 2015年 第1問次の問に答えよ．
(1)関数$f(x)=x^{-2}2^x (x \neq 0)$について，$f^\prime(x)>0$となるための$x$に関する条件を求めよ．
(2)方程式$2^x=x^2$は相異なる$3$個の実数解をもつことを示せ．
(3)方程式$2^x=x^2$の解で有理数であるものをすべて求めよ．
(1)関数$f(x)=x^{-2}2^x (x \neq 0)$について，$f^\prime(x)>0$となるための$x$に関する条件を求めよ．
(2)方程式$2^x=x^2$は相異なる$3$個の実数解をもつことを示せ．
(3)方程式$2^x=x^2$の解で有理数であるものをすべて求めよ．