$p,\ q,\ r$を実数とする．空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,\ p,\ 0)$，$\mathrm{B}(q,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}(-1,\ -1,\ r)$が一直線上にあるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$を原点とする．

(1)$p$は$1$でも$-1$でもないことを示せ．
(2)$q,\ r$を$p$を用いて表せ．
(3)$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を実数とし，空間内の$3$点を$\mathrm{A}^\prime(1,\ p^\prime,\ 0)$，$\mathrm{B}^\prime(q^\prime,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}^\prime(-1,\ -1,\ r^\prime)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}$がいずれもベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとき，$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を$p$を用いて表せ．
(4)$(3)$における$3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$は一直線上にないことを示せ．

$f(x)$は$x$の$3$次多項式とし，$x^3$の係数は$1$，定数項は$0$とする．$2$つの異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して$f^\prime(\alpha)=f^\prime(\beta)=0$が満たされているとする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．

$f(x)$は$x$の$3$次多項式とし，$x^3$の係数は$1$，定数項は$0$とする．$2$つの異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して$f^\prime(\alpha)=f^\prime(\beta)=0$が満たされているとする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle F(x)=\int_x^{2x} e^t \, dt$とするとき，$F(1)$および$F^\prime(x)$を求めよ．
(2)関数$f(x),\ g(x)$が，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(x)+\int_0^x g(t) \, dt=2 \sin x-3 \\
f^\prime(x)g(x)=\cos^2 x \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たすとき，$f(x)$，$g(x)$を求めよ．

連続関数$f(x)$は次の条件を満たす．
\[ f(x)=1+\int_0^x (x-t)f(t) \, dt \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\phi(x)=f(x)+f^\prime(x)$とおくとき，$\displaystyle \frac{\phi^\prime(x)}{\phi(x)}$を求めよ．
(2)$f(x)$を求めよ．

$p,\ q,\ r$を実数とする．空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,\ p,\ 0)$，$\mathrm{B}(q,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}(-1,\ -1,\ r)$が一直線上にあるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$\mathrm{O}$を原点とする．

(1)$p$は$1$でも$-1$でもないことを示せ．
(2)$q,\ r$を$p$を用いて表せ．
(3)$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を実数とし，空間内の$3$点を$\mathrm{A}^\prime(1,\ p^\prime,\ 0)$，$\mathrm{B}^\prime(q^\prime,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}^\prime(-1,\ -1,\ r^\prime)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}^\prime}$がいずれもベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとき，$p^\prime,\ q^\prime,\ r^\prime$を$p$を用いて表せ．
(4)$(3)$における$3$点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$は一直線上にないことを示せ．

以下の問に答えよ．

(1)$a^5-12a^4+36a^3-81a+1,\ a^2-6a$が共に有理数となるような無理数$a$を求めよ．
(2)$a_1=1$，$a_2=e$，$a_{n+2}=a_n^{-2}a_{n+1}^3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$という条件で決まる数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(3)$f(4)=k_1$，$f^\prime(4)=k_2$を満たすどんな関数$f(x)$についても，
\[ \lim_{x \to 0} \frac{4f((x+2)^2)-(x+2)^2f(4)}{x}=\alpha k_1+\beta k_2 \]
となる．このとき，定数$\alpha,\ \beta$はそれぞれいくらか．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^{-x}x^2(x^2+ax+b) \]
で定める．ただし，$a,\ b$は実数，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の導関数を$f^{\prime}(x)$とする．$f(-1)=10e$，$f^\prime(1)=0$のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$を$(1)$で求めた値とする．このとき$x \geqq 0$における$f(x)$の最大値，最小値を求め，そのときの$x$の値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることを用いてよい．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$は区間$[a,\ b]$で連続であり，区間$(a,\ b)$で第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をもつとする．さらに，区間$(a,\ b)$で$f^{\prime\prime}(x)<0$が成り立つとする．$y=g(x)$を$2$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$を通る直線の方程式とするとき，区間$(a,\ b)$で常に$f(x)>g(x)$であることを示せ．
(2)$n$を$2$以上の自然数とするとき，$j=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$について
\[ \frac{\log j+\log (j+1)}{2}<\int_j^{j+1} \log x \, dx \]
が成り立つことを示せ．
(3)$n$を$2$以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sqrt{n!(n-1)!}<n^n e^{-n+1} \]