二つの関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
f(x)=4x^2-8s(x+k)+s^4-s^2 \\
g(x)=8sx+s^4-4
\end{array} \]
ここで，$k$と$s$は実数の定数であり，$0<s \leqq 1$とする．また，$y=f(x)$のグラフは点$(0,\ s^4)$を通ることとする．以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$～$(4)$は解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$k$を$s$で表せ．
(2)$f(x)$の最小値を$m$とする．$m$を$s$を用いて表せ．
(3)$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが少なくとも一つの共有点をもつような$s$の値の範囲を求めよ．
(4)$s$の値が$(3)$で得られた範囲にあるとき，$m$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$s$の値を求めよ．

$1$個のさいころを投げたとき，$3$以下の目が出れば赤い玉を$1$個，$4$あるいは$5$の目が出れば白い玉を$1$個，$6$の目が出れば黒い玉を$1$個得ることとする．さいころを$3$回投げて$3$個の玉を得る試行について，以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$～$(5)$は解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)赤い玉を$3$個得る確率を求めよ．
(2)赤い玉を$1$個，白い玉を$1$個，黒い玉を$1$個得る確率を求めよ．
(3)赤い玉を$2$個，白い玉を$1$個得る確率を求めよ．
(4)$2$種類の色の玉を得る確率を求めよ．
(5)得られる$3$個の玉の色の種類の数を$X$とするとき，$X$の期待値を求めよ．

平面上に三つの異なる定点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，同じ平面上に動点$\mathrm{P}$があり，$\displaystyle \angle \mathrm{APB}=\frac{\pi}{2}$を満たす．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\overrightarrow{m}$とする．以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$，$(3)$は解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$\overrightarrow{m}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{MP}}|$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{14}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=-6$が成り立つ．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{m}$のなす角を$\alpha$，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$のなす角を$\beta$とする．ただし，$0 \leqq \alpha \leqq \pi$，$0 \leqq \beta \leqq \pi$とする．以下の設問$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$に答えよ．

(i) $\cos \alpha$の値を求めよ．
(ii) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積が最大となるときの$\beta$の値を求めよ．
(iii) $\triangle \mathrm{OPA}$の面積の最大値を求めよ．

$2$次関数$f(x)=-x^2-2x+1$，$g(x)=-2x^2+px+q$について，以下の設問に答えよ．ただし，$g(1)=-2$，$g(-1)=0$であり，$p,\ q$は実数の定数とする．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$p$と$q$の値を求めよ．
(2)$f(x)<g(x)$となる$x$の値の範囲を求めよ．
(3)$h(x)$を次のように定義する．

$f(x) \geqq g(x)$の場合は$h(x)=f(x)$
$f(x)<g(x)$の場合は$h(x)=g(x)$

次に，正の実数$k$に対して$M(k)$と$m(k)$を次のように定義する．

$M(k)$は$-k \leqq x \leqq k$における$h(x)$の最大値
$m(k)$は$-k \leqq x \leqq k$における$h(x)$の最小値
(i) $M(2)$と$m(2)$の値を求めよ．
(ii) $M(k)$と$m(k)$の値を$k$を用いて表せ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について，$x=4(1-2 \sin^2 \theta)$，$y=8 \sin \theta \cos \theta$とし，点$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円$C$を考える．以下の設問に答えよ．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$\theta=0$の場合，原点$\mathrm{O}$から円$C$に$2$本の接線を引いたとき，この$2$本の接線のなす角を$\alpha$とする．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．このときの$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{2}$と$\tan \alpha$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を$\sin 2\theta$または$\cos 2\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}$が$(3)$で求められた軌跡をたどったとき，円$C$が通過してできた図形の面積を求めよ．

$a$を正の定数とし，$f(x)=ae^{-ax}$とする．ただし，$e$を自然対数の底とする．原点を$\mathrm{O}$とし，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(s,\ f(s))$における接線$\ell$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，以下の設問に答えよ．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)接線$\ell$の方程式と$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における接線と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．また，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=t$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．ただし，$t>1$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(3)$s$の値が$s \geqq 0$の範囲で変化するとき，三角形$\mathrm{ROQ}$の面積$T(s)$の最大値とそのときの$s$の値を求めよ．

初項$6$，公差$3$の等差数列を$\{a_n\}$とし，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，$\{d_n\}$を一般項が次の式で定められる数列とする．

$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n a_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle c_n=\frac{1}{b_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle d_n=\sum_{k=1}^n c_k \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

このとき，以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$～$(4)$は解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$b_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n$は実数$s,\ t$を用いて$\displaystyle c_n=\frac{s}{n}+\frac{t}{n+3}$と表せる．$s,\ t$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} d_n$を求めよ．