空間内に平面$P$がある．空間内の図形$A$に対し，$A$の各点から$P$に下ろした垂線と$P$との交点の全体を，$A$の$P$への正射影とよぶ．次の問に答えよ．

(1)平面$Q$が平面$P$と角$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$で交わっているとする．すなわち，$P$と$Q$の交線に垂直な平面で$P,\ Q$を切ってできる$2$直線のなす角が$\theta$であるとする．$Q$上の長さ$1$の線分の$P$への正射影の長さの最大値と最小値を求めよ．
(2)$(1)$の$Q$を考える．$Q$上の$1$辺の長さが$1$である正三角形の$P$への正射影の面積を求めよ．
(3)$1$辺の長さが$1$である正四面体$T$の$P$への正射影$T^\prime$はどんな形か．また，$T^\prime$の面積の最大値を求めよ．

平面上の点$\mathrm{A}$を中心とする半径$a$の円から，中心角が${60}^\circ$で$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}=a$となる扇形$\mathrm{APQ}$を切り取る．つぎに線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{AQ}$を貼り合わせて，$\mathrm{A}$を頂点とする直円錐$K$を作り，これを点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間におく．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$はそれぞれ$z$軸，$x$軸上の正の位置にとり，扇形$\mathrm{APQ}$の弧$\mathrm{PQ}$は$xy$平面上の$\mathrm{O}$を中心とする円$S$になるようにする．
また弦$\mathrm{PQ}$から定まる$K$の側面上の曲線を$C$とする．
（図は省略）
以下の問いに答えよ．

(1)$S$の半径を$b$とする．$S$上の点$\mathrm{R}(b \cos \theta,\ b \sin \theta,\ 0) (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$に対し，$K$上の母線$\mathrm{AR}$と$C$の交点を$\mathrm{M}$とする．$b$と線分$\mathrm{AM}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$xy$平面に正射影したベクトルの長さを$r$とする．$r$を$a$と$\theta$を用いて表し，定積分
\[ \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \{r(\theta)\}^2 \, d\theta \]
を求めよ．ただし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(a_1,\ a_2,\ a_3)$を$xy$平面に{\bf 正射影したベクトル}とは$\overrightarrow{\mathrm{OE}^\prime}=(a_1,\ a_2,\ 0)$のことである．