「対辺」について
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国立 茨城大学 2010年 第1問$\triangle$ABCにおいて$\angle \text{A},\ \angle \text{B},\ \angle \text{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．$\triangle$ABCの面積を$S$とするとき，以下の各問に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{\sin A}{\sin B \sin C}=\frac{\cos B}{\sin B}+\frac{\cos C}{\sin C}$を示せ．
(2)$\displaystyle \sin A,\ \sin B,\ \sin C,\ \frac{\sin A}{\sin B \sin C}$を$a,\ b,\ c,\ S$で表せ．
(3)$a \geqq b \geqq c$ならば，$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A} \leqq \frac{\cos B}{\sin B} \leqq \frac{\cos C}{\sin C}$となることを示せ．
(1)$\displaystyle \frac{\sin A}{\sin B \sin C}=\frac{\cos B}{\sin B}+\frac{\cos C}{\sin C}$を示せ．
(2)$\displaystyle \sin A,\ \sin B,\ \sin C,\ \frac{\sin A}{\sin B \sin C}$を$a,\ b,\ c,\ S$で表せ．
(3)$a \geqq b \geqq c$ならば，$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A} \leqq \frac{\cos B}{\sin B} \leqq \frac{\cos C}{\sin C}$となることを示せ．
国立 旭川医科大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$について，次の問いに答えよ．
$(ⅰ)$ $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$を求めよ．
$(ⅱ)$ 区間$0<x<\pi$で$f(x)$の増加減少を調べよ．
(2)三角形ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B}$の大きさをそれぞれ$\alpha,\ \beta$とし，それらの角の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b$で表す．$0<\alpha<\beta<\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{b^2}{a^2}<\frac{1-\cos \beta}{1-\cos \alpha}<\frac{\beta^2}{\alpha^2} \]
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x}{x^2}$について，次の問いに答えよ．
$(ⅰ)$ $\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$を求めよ．
$(ⅱ)$ 区間$0<x<\pi$で$f(x)$の増加減少を調べよ．
(2)三角形ABCにおいて，$\angle \text{A},\ \angle \text{B}$の大きさをそれぞれ$\alpha,\ \beta$とし，それらの角の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b$で表す．$0<\alpha<\beta<\pi$のとき，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
\[ \frac{b^2}{a^2}<\frac{1-\cos \beta}{1-\cos \alpha}<\frac{\beta^2}{\alpha^2} \]
国立 京都教育大学 2010年 第1問$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$つの角の大きさを$A,\ B,\ C$で表し，また，それらの角の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す．このとき，$\displaystyle \frac{\cos B}{b}=\frac{\cos C}{c}$が成り立つ$\triangle \mathrm{ABC}$はどのような三角形であるか．
国立 茨城大学 2010年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A},\ \angle \mathrm{B},\ \angle \mathrm{C}$の大きさと対辺の長さをそれぞれ$A,\ B,\ C$および$a,\ b,\ c$で表す．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とし，$3$頂点を通る円の半径を$R$とする．$a \geqq b \geqq c$とするとき以下の各問に答えよ．
(1)$\sin A \geqq \sin B \geqq \sin C$を示せ．
(2)$S=2R^2 \sin A \sin B \sin C$を示せ．
(3)$\displaystyle \frac{a^2}{S},\ \frac{b^2}{S},\ \frac{c^2}{S}$のそれぞれを$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A},\ \frac{\cos B}{\sin B},\ \frac{\cos C}{\sin C}$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A} \leqq \frac{\cos B}{\sin B} \leqq \frac{\cos C}{\sin C}$を示せ．
(5)$A \geqq B \geqq C$を示せ．
(6)$\displaystyle \frac{a^2}{S} \geqq \frac{4}{\sqrt{3}}$を示せ．
(7)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であるためには$\displaystyle \frac{a^2}{S} = \frac{4}{\sqrt{3}}$であることが必要十分であることを示せ．
(1)$\sin A \geqq \sin B \geqq \sin C$を示せ．
(2)$S=2R^2 \sin A \sin B \sin C$を示せ．
(3)$\displaystyle \frac{a^2}{S},\ \frac{b^2}{S},\ \frac{c^2}{S}$のそれぞれを$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A},\ \frac{\cos B}{\sin B},\ \frac{\cos C}{\sin C}$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle \frac{\cos A}{\sin A} \leqq \frac{\cos B}{\sin B} \leqq \frac{\cos C}{\sin C}$を示せ．
(5)$A \geqq B \geqq C$を示せ．
(6)$\displaystyle \frac{a^2}{S} \geqq \frac{4}{\sqrt{3}}$を示せ．
(7)$\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形であるためには$\displaystyle \frac{a^2}{S} = \frac{4}{\sqrt{3}}$であることが必要十分であることを示せ．
私立 倉敷芸術科学大学 2010年 第5問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$B=45^\circ,\ C=60^\circ$とする．$3$頂点A，B，Cの対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表すとき，$\displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{a^2-b^2+c^2}$の値を求めよ．
私立 甲南大学 2010年 第1問以下の空欄にあてはまる数を入れよ．
(1)$2$次方程式$x^2-2x+3=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2=[1]$，$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}+\frac{\alpha^2}{\beta}=[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．$a=3$，$b=4$，$\angle \mathrm{C}=30^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[3]$である．また，$a=3$，$b=4$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$のとき，$\angle \mathrm{C}>90^\circ$ならば，$c=[4]$である．
(3)不等式$\log_2 (\log_2 (\log_2 x)) \leqq 1$をみたす$x$の値の範囲は，$[5]<x \leqq [6]$である．
(4)関数$y=(x^2+4x+5)(x^2+4x+2)+2x^2+8x+1$は，$x=[7]$のとき最小値$[8]$をとる．
(5)つぼの中に赤玉$5$個，白玉$5$個，青玉$2$個がある．玉を一度に$4$個取り出すとき，その$4$個の玉が$1$種類の色の玉からなる確率は$[9]$であり，$3$種類の色の玉からなる確率は$[10]$である．
(1)$2$次方程式$x^2-2x+3=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2=[1]$，$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}+\frac{\alpha^2}{\beta}=[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．$a=3$，$b=4$，$\angle \mathrm{C}=30^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[3]$である．また，$a=3$，$b=4$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$のとき，$\angle \mathrm{C}>90^\circ$ならば，$c=[4]$である．
(3)不等式$\log_2 (\log_2 (\log_2 x)) \leqq 1$をみたす$x$の値の範囲は，$[5]<x \leqq [6]$である．
(4)関数$y=(x^2+4x+5)(x^2+4x+2)+2x^2+8x+1$は，$x=[7]$のとき最小値$[8]$をとる．
(5)つぼの中に赤玉$5$個，白玉$5$個，青玉$2$個がある．玉を一度に$4$個取り出すとき，その$4$個の玉が$1$種類の色の玉からなる確率は$[9]$であり，$3$種類の色の玉からなる確率は$[10]$である．