タグ「対角行列」の検索結果

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九州大学 国立 九州大学 2013年 第5問
実数$x,\ y,\ t$に対して,行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
x & y \\
-t-x & -x
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{rr}
5 & 4 \\
-6 & -5
\end{array} \right) \]
を考える.$(AB)^2$が対角行列,すなわち$\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$の形の行列であるとする.

(1)命題「$3x-3y-2t \neq 0 \ \Longrightarrow \ A=tB$」を証明せよ.
以下(2),(3),(4)では,さらに$A^2 \neq E$かつ$A^4=E$であるとする.ただし,$E$は単位行列を表す.
(2)$3x-3y-2t=0$を示せ.
(3)$x$と$y$をそれぞれ$t$の式で表せ.
(4)$x,\ y,\ t$が整数のとき,行列$A$を求めよ.
東京海洋大学 国立 東京海洋大学 2013年 第1問
$S=\left( \begin{array}{cc}
2+3 \cos 2\theta & 3 \sin 2\theta \\
3 \sin 2\theta & 2-3 \cos 2\theta
\end{array} \right)$とする.以下,$\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$の形の行列を対角行列と呼ぶ.

(1)$Q=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$とするとき,$D=Q^{-1}SQ$が対角行列になることを示せ.
(2)$2 \times 2$行列$X$が$XD=DX$を満たすとき,$X$は対角行列になることを示せ.
(3)$2 \times 2$行列$T$が$TS=ST$を満たすとき,$Q^{-1}TQ$は対角行列になることを示せ.
京都府立大学 公立 京都府立大学 2013年 第4問
$a,\ b,\ c$は$0$でない実数とする.行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & c
\end{array} \right)$について,以下の問いに答えよ.

(1)$BAB$は対角行列,かつ,$B^2$は単位行列とするとき,$B=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
q & r
\end{array} \right)$の成分はすべて実数であることを示せ.
(2)$\displaystyle a=\frac{5}{8},\ b=-\frac{1}{2},\ c=\frac{1}{3}$とする.自然数$n$に対して$\left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
3 \\
4
\end{array} \right)$とする.このとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=0$かつ$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=0$を示せ.
山梨大学 国立 山梨大学 2012年 第5問
実数を成分とする行列
\[ M=\left( \begin{array}{cc}
1 & b \\
b & 1-a
\end{array} \right),\quad M^\prime=\left( \begin{array}{cc}
1 & b^\prime \\
b^\prime & 1-a^\prime
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
が$MM^\prime=M^\prime M$,$a \neq 0$,$a^\prime \neq 0$を満たし,$P^{-1}MP$が対角行列であるとする.ここで,対角行列とは$\left( \begin{array}{cc}
\alpha & 0 \\
0 & \beta
\end{array} \right)$の形の行列である.

(1)$a,\ b,\ a^\prime,\ b^\prime$の間に成り立つ関係式を求めよ.
(2)$\tan 2\theta$を$a,\ b$を用いた式で表せ.
(3)$P^{-1}M^\prime P$が対角行列であることを示せ.
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「対角行列」とは・・・

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