四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=\sqrt{2}$，$\mathrm{OC}=1$であり，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3}$，$\displaystyle \angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{4}$であるとする．また，3点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$，平面$\alpha$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$で$\mathrm{CP}+\mathrm{PG}$を最小にする点を$\mathrm{P}_0$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表し，$\mathrm{CP}_0+\mathrm{P}_0 \mathrm{G}$の値を求めよ．

曲線$C:y=e^{-x}$上の点$\mathrm{A}(a,\ e^{-a})$における$C$の法線$m$と直線$\ell_1:x=a$に関して，以下の問いに答えよ．

(1)$\ell_1$と$m$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta$を$a$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(2)$m$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とするとき，$\ell_2$の方程式を$a$を用いて表せ．
(3)$\ell_2$と$y$軸の交点を$\mathrm{P}$とおく．$a$が実数全体を動くとき，$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．
(4)$a$を(3)で求めた値とするとき，曲線$C$，$y$軸および線分$\mathrm{AP}$で囲まれた部分を，$y$軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

$a$を正の定数とする．放物線$C:y=(1-x)(x+a)$と$C$上の動点$\mathrm{P}(t,\ (1-t)(t+a))$について，次の問に答えよ．ただし，$0<t<1$とする．

(1)$x$軸に関して$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{Q}$，$xy$平面の原点を$\mathrm{O}$とし，放物線$C$と$y$軸および$2$つの線分$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{OQ}$とで囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$を$t$と$a$で表せ．
(2)$S$を最大にする$t$が$\displaystyle \frac{3}{4}<t<\frac{4}{5}$の範囲に存在することを示せ．

点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 4)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{n}=(-3,\ 1,\ 2)$に垂直な平面を$\alpha$とする．平面$\alpha$に関して同じ側に$2$点$\mathrm{P}(-2,\ 1,\ 7)$，$\mathrm{Q}(1,\ 3,\ 7)$がある．次の問いに答えよ．

(1)平面$\alpha$に関して点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)平面$\alpha$上の点で，$\mathrm{PS}+\mathrm{QS}$を最小にする点$\mathrm{S}$の座標とそのときの最小値を求めよ．

座標平面上に2点A$(-1,\ 3)$，B$(5,\ 15)$と直線$\ell$が与えられており，2点A，Bは直線$\ell$に関して対称な位置にある．直線$\ell$が$y$軸と交わる点をCとし，線分ABの中点をMとする．線分MA上に，点Mと異なる点Pをとる．このとき次の問(1)～(4)に答えよ．

(1)点Mの座標と直線ABの方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)点Pの$x$座標を$t$とする．$\angle \text{PCM}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(4)直線$\ell$に関して，点Pと対称な点をQとする．三角形PCQが正三角形となるとき，$t$の値を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$3$次の整式$F(x)$を$x^2-3x+2$で割ると，余りは$-3x-5$である．これより，$F(2)=[ア]$である．この$F(x)$を$x^2+3x+2$で割った余りが$3x+7$であるとき，$F(0)=[イ]$である．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{9 \cdot 10^x}{(1+10^x)^2}$を考える．$f(x) \geqq 2$となる$x$の値の範囲は$[ウ]$である．また，等式$\displaystyle f(-x)=\frac{a \cdot 10^{bx}}{(1+10^x)^2}$がすべての$x$について成り立つように定数$a,\ b$の値を定めると$(a,\ b)=[エ]$である．
(3)直線$\ell:y=7x+6a-5$と放物線$y=(x-a)^2-5$が異なる$2$点で交わるとき，定数$a$のとりうる値の範囲を求めると$[オ]$である．また，直線$y=2x+a$に関して，$\ell$と対称な直線の方程式を求めると$[カ]$である．
(4)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \frac{1}{\sin \theta}+\frac{1}{\cos \theta}=4 \sqrt{3}$のとき，$\sin \theta \cos \theta$の値を求めると$\sin \theta \cos \theta=[キ]$であり，$\sin^4 \theta+\cos^4 \theta$の値を求めると$\sin^4 \theta+\cos^4 \theta=[ク]$である．

原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と直線$\ell:y=x$がある．$C$上に点$\mathrm{P}$があり，$x$軸の正の部分を始線として，動径$\mathrm{OP}$の表す正の角を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle \frac{1}{4}\pi<\theta<\pi$である．

(1)$\ell$に関して$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$をとる．$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$x$軸に関して$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{R}$をとる．三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$S$が最大になるときの$\theta$と$S$の値を求めよ．

空間内に$3$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ \frac{1}{\sqrt{2}},\ \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 1,\ 0,\ \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 1,\ \frac{1}{\sqrt{2}},\ 0 \right)$がある．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とする．

(1)平面$\alpha$に関して原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と対称な点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

座標平面上において直線$y=2x$を$\ell$とし，この直線$\ell$に関して対称な$2$点$\mathrm{P}(x,\ y)$，$\mathrm{Q}(u,\ v)$をとる．

(1)直線$\mathrm{PQ}$は直線$\ell$に垂直であるから
\[ v-y=\frac{[アイ]}{[ウ]} (u-x) \qquad \cdots\cdots① \]
が成り立つ．
(2)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の中点は直線$\ell$上にあるから
\[ v+y=[エ](u+x) \qquad \cdots\cdots② \]
が成り立つ．
(3)等式$①$と$②$より，$x,\ y$と$u,\ v$の間に関係
\[ \left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=\frac{1}{[オ]} \left( \begin{array}{cc}
[カキ] & [ク] \\
[ケ] & [コ]
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \qquad \cdots\cdots③ \]
が成り立つ．
(4)$1$次変換$③$を表す行列を$A$とすると，
\[ A^2=\left( \begin{array}{cc}
[サ] & [シ] \\
[ス] & [セ]
\end{array} \right),\quad A^{-1}=\frac{1}{[ソ]} \left( \begin{array}{cc}
[タチ] & [ツ] \\
[テ] & [ト]
\end{array} \right) \]
である．

直線$y=2x-1$を$\ell$とする．$\ell$に関して点$(2,\ 1)$と対称な点の座標を求めよ．$\ell$に関して直線$y=-2x+5$と対称な直線の方程式を求めよ．