$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=1$であるとする．辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S_1$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(4)$\mathrm{DF}:\mathrm{BC}$を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{DEF}$の面積$S_2$を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$|\overrightarrow{b}|=1$，$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=1$であるとする．辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$に関して$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{DF}:\mathrm{BC}$を求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間上に$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 4)$，$\mathrm{C}(4,\ 3,\ 5)$をとる．次の問いに答えよ．

(1)平面$\mathrm{OAB}$に関して点$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{D}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を適当な実数$s,\ t,\ u$を用いて
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
と表したとき，$s,\ t,\ u$の値を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，三角形$\mathrm{ABC}$は$1$辺の長さが$1$の正三角形であり，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=2$とする．また，点$\mathrm{C}$を通り平面$\mathrm{OAB}$に垂直な直線上に点$\mathrm{D}$があり，線分$\mathrm{CD}$の中点$\mathrm{H}$は平面$\mathrm{OAB}$に含まれるとする．すなわち，点$\mathrm{D}$は平面$\mathrm{OAB}$に関して，点$\mathrm{C}$と対称な点である．
（図は省略）
$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次に答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$および$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(3)直線$\mathrm{BH}$と直線$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表し，$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ．さらに，$\mathrm{OP}$および$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
(4)$(3)$で定めた点$\mathrm{P}$に対して，四角形$\mathrm{BCPD}$の面積$S$を求めよ．また，四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{BCPD}$の体積$V$を求めよ．

座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$と，原点を中心とする半径$2$の円周上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$をとるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$を通って，直線$\mathrm{AP}$に直交する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$とし，$\ell$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とおく．線分$\mathrm{BQ}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡は楕円であることを示し，その長軸と短軸の長さの比を求めよ．

放物線$\displaystyle p:y=\frac{1}{4}x^2$がある．点$\mathrm{A}(1,\ 1)$から$y$軸に平行な直線を引き，放物線$p$との交点を点$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{B}$を通り，放物線$p$に接する直線を$\ell_1$とする．

(1)点$\mathrm{B}$を通り，直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とすると，直線$\ell_2$の方程式は
\[ y=[ク] \]
で表される．
(2)直線$\ell_2$に関して，点$\mathrm{A}$に対称な点$\mathrm{C}$の座標は，
\[ (x,\ y)=([ケ],\ [コ]) \]
である．
(3)点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{C}$を通る直線を$\ell_3$とすると，直線$\ell_3$と$y$軸との交点の座標は
\[ (x,\ y)=(0,\ [サ]) \]
となる．
(4)点$\mathrm{B}$とは異なる直線$\ell_3$と放物線$p$との交点を点$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{D}$を通る直線と放物線$p$で囲まれた部分の面積は$[シ]$となる．
(5)点$\mathrm{D}$を通る放物線$p$の接線を$\ell_4$とする．点$\mathrm{D}$を通り，接線$\ell_4$に垂直な直線を$\ell_5$とする．直線$\ell_5$に関して，点$\mathrm{C}$に対称な点を点$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$と点$\mathrm{E}$を通る直線の方程式は
\[ x=[ス] \]
で表される．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$(|x-1|-1)(y-1)>0$の表す領域を図示せよ．
(2)平面上の直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1$に関して点$(2,\ 7)$と対称な点の座標を求めよ．
(3)$3$辺の長さが$x,\ 1-2x,\ 2-2x$である直方体がある．このような直方体のなかで体積が最大となるものの体積を求めよ．

$2$次関数$y=2x^2-12x+13$のグラフを$G$とし，$G$の頂点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)グラフ$G$と$x$軸の共有点の座標を求めよ．
(3)$x$軸に関して点$\mathrm{P}$と対称な点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$と点$(1,\ 1)$を通り，$y$軸と点$(0,\ -4)$で交わる放物線の方程式を求めよ．

放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$における$C$の接線$\ell_T$，さらに，点$\mathrm{A}$を通り，$\ell_T$に直交する直線（法線）$\ell_N$を考える．また，法線$\ell_N$に関して直線$x=a$と対称な直線を$\ell_R$とする．次の問に答えなさい．

(1)接線$\ell_T$と$x$軸のなす角を$\theta$とする．ただし，$a>0$の範囲では$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$a>0$のとき，$\displaystyle \tan \left( \frac{\pi}{2}+2\theta \right)$を$a$を用いて表しなさい．
(2)直線$\ell_R$は$a$の値によらず定点を通ることを示しなさい．

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ヌ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)整式$P(x)$を$x^2-1$で割ると$1$余り，$x^2+4x+4$で割ると$x+6$余る．$P(x)$を$x^2+x-2$で割ったときの余りを$ax+b$とする．このとき，定数$a,\ b$の値は$a=[サ]$，$b=[シ]$となる．
(2)点$(1,\ 2)$に関して，円$x^2+y^2-8x+10y+k=0$と対称な円が原点を通るように定数$k$を定めると，$k=[ス]$となり，対称な円の中心は$([セ],\ [ソ])$となる．
(3)$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\sin 2\theta$の値は$[タ]$となり，$\cos^3 \theta-\sin^3 \theta$の値は$[チ]$となる．
(4)$3 \leqq x \leqq 81$のとき，関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^4+5$の最大値と最小値を求めると，$x=[ツ]$のときに最大値$[テ]$をとり，$x=[ト]$のときに最小値$[ナ]$をとる．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n^2+8n$で表されるとき，初項$a_1$は$[ニ]$であり，一般項$a_n$は$[ヌ]$である．