放物線$y=x^2$上の点$(a,\ a^2)$を$\mathrm{A}$とし，点$\mathrm{A}$における放物線の接線を$\ell$とする．ただし，$a>0$とする．また，$x$軸上の点$(a,\ 0)$の直線$\ell$について対称な点を$\mathrm{B}$とし，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$m$とする．このとき，次の問$(1)$～$(4)$に答えよ．

(1)直線$\ell$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\theta$とし，また，直線$m$と$x$軸の正の向きとのなす角を$\gamma$とする．$\gamma$を$\theta$と$\pi$を用いて表せ．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\gamma<\frac{\pi}{2}$とする．
(2)直線$m$の傾き$\tan \gamma$を$\tan \theta$で表せ．
(3)直線$m$の方程式を$a$を用いて表せ．
(4)直線$m$が，$a$の値によらず，必ず通過する点の座標を求めよ．

$2$次関数$y=x^2+ax+b$のグラフが直線$x=2$に関して対称で，点$(3,\ 0)$を通るとき，
\[ a=[　],\ b=[　] \]
である．

放物線$y=2x^2-8x+9$について，以下の問に答えよ．

(1)この放物線の頂点の座標は$[　]$である．
(2)この放物線と$x$軸に関して対称な放物線の方程式は$[　]$である．

$xy$平面において原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$S$とし，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して，点$\mathrm{P}$における円$S$の接線を$L(\mathrm{P})$とおく．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
を全ての成分が実数からなる$2$行$2$列の行列とし，$A$によって定まる$xy$平面の一次変換
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
を$\varphi$とおく．このとき，円$S$の任意の点$\mathrm{P}$に対して円$S$の点$\mathrm{Q}$が存在し，接線$L(\mathrm{P})$のいかなる点も$\varphi$によって接線$L(\mathrm{Q})$の点に移されると仮定する．

(1)円$S$の点$\mathrm{P}$の座標を$(s,\ t)$として，接線$L(\mathrm{P})$の方程式を求めよ．
(2)行列$A$は逆行列を持つことを証明せよ．
(3)円$S$の点$\mathrm{Q}$は円$S$の点$\mathrm{P}$により一意的に定まることを示し，点$\mathrm{Q}$の座標$(u,\ v)$を点$\mathrm{P}$の座標$(s,\ t)$及び行列$A$の成分$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表示せよ．
(4)$xy$平面の一次変換$\varphi$は，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする回転か，または原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るある直線$\ell$を対称軸とする対称変換のいずれかであることを証明せよ．

放物線$C : y = x^2$に対して，以下の問いに答えよ．

(1)$C$上の点P$(a,\ a^2)$を通り，Pにおける$C$の接線に直交する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$を(1)で求めた直線とする．$a \neq 0$のとき，直線$x = a$を$\ell$に関して対称に折り返して得られる直線$m$の方程式を求めよ．
(3)(2)で求めた直線$m$は$a$の値によらず定点Fを通ることを示し，Fの座標を求めよ．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & c
\end{array} \biggr)$で表される座標平面上の点の移動を考える．原点を通る直線$\ell$上のすべての点が$\ell$上の点に移されるとき，この移動によって$\ell$はそれ自身に移されるということにする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)原点を通る直線で，この移動によってそれ自身に移されるものがちょうど2つ存在するための必要十分条件を，$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$a,\ b,\ c$が(1)の条件をみたすとき，(1)の2つの直線は，直線$y=x$に関して対称であることを証明せよ．

3次関数$f(x)=x^3-3ax^2 \ (a>0)$と，曲線$C:y=f(x) \ (-\infty<x<\infty)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の変曲点における接線の式を求めよ．
(2)曲線$C$はこの変曲点に関して対称であることを示せ．
(3)$b,\ c$は実数とする．3次方程式$x^3-3ax^2=bx-c$が3つの解をもち，それらの解が等差数列をなすとき，$c$を$a,\ b$の式で表せ．
(4)(3)において，等差数列の公差が$2 \sqrt{3}$に等しいとする．このとき，3次関数$f(x)-bx+c$の極値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に点$\mathrm{A}(4,\ 6)$，$\mathrm{B}(6,\ -4)$がある．直線$y=x$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{P}$，点$\mathrm{B}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標は$([ク],\ [ケ])$である．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標は$([コ],\ [サシス])$である．
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積は$[セ]$である．
(4)$\triangle \mathrm{PAQ}$の面積は$[ソタ]$である．

次の問に答えよ．

(1)方程式
\[ \frac{x+4}{x+6}+\frac{x+6}{x+8}=\frac{x+2}{x+4}+\frac{x+8}{x+10} \]
が成立するとき，$x$の値は，$[アイ]$である．
(2)$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$y=x^2-8x+9$のグラフと点$(1,\ -5)$に関して対称であるとき，$a,\ b,\ c$の値は，それぞれ，$[ウエ]$，$[オカ]$，$[キク]$である．

放物線$y=x^2+1$を$C_1$，放物線$y=-x^2+6x-8$を$C_2$として次の問いに答えよ．

(1)点$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ [　] \right)$に関して，$C_1$と$C_2$は対称である．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する$2$つの接線のうち，$x$軸と交わらない方を$\ell_1$，$x$軸と交わる方を$\ell_2$とすると，$\ell_1$の方程式は$y=[　]$，$\ell_2$の方程式は$y=[　] x-[　]$である．
(3)$C_1$と$\ell_1$および$\ell_2$とで囲まれた部分の面積と，$C_2$と$\ell_1$および$\ell_2$とで囲まれた部分の面積の和は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．