座標平面上の$2$直線$\ell:x \sin \theta-y \cos \theta=0$（ただし$0^\circ \leqq \theta<180^\circ$），$\displaystyle m:y=\frac{1}{\sqrt{3}}x$を考える．$\ell$，$m$に関する対称移動をそれぞれ$f,\ g$とする．

(1)対称移動$f$を表す行列を求めよ．
(2)移動の合成$f \circ g$が原点のまわりの回転移動となることを示せ．また，その回転角を$\theta$を用いて表せ．
(3)移動の合成$f \circ g$を表す行列と$g \circ f$を表す行列が一致するときの$\theta$を求めよ．ただし，$f$と$g$は異なる移動とする．

座標平面上の点の移動について考える．

(1)直線$y=ax$に関する対称移動の$1$次変換$g$を表す行列は
\[ \frac{1}{[　]+a^2} \left( \begin{array}{cc}
[$*$]-a^2 \phantom{\frac{1}{2}} & [$**$]a \\
[$**$]a \phantom{\frac{1}{2}} & -([$*$]-a^2)
\end{array} \right) \]
である．
(2)$x$軸に関する対称移動の$1$次変換$h$を表す行列は$\left( \begin{array}{cc}
[　] & 0 \\
0 & [　]
\end{array} \right)$である．
(3)原点のまわりに角$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転する$1$次変換を$f$とするとき，$f=g \circ h$ならば，$\displaystyle a=\frac{[　]}{\sqrt{[　]}}$である．ここで，$g$と$h$はそれぞれ$(1)$，$(2)$の$1$次変換である．

$2$次関数$y=x^2+x+1$のグラフを，点$(1,\ -1)$に関して対称移動してできる$2$次関数を求めなさい．