座標平面上の放物線$C_1$は，点$(1,\ 0)$で$x$軸に接し，点$(0,\ -a)$を通っている．また，$C_1$を$x$軸に関して対称移動した後に，$x$軸方向に$\displaystyle \frac{1}{a}-1$，$y$軸方向に$\displaystyle 1-\frac{1}{a}$だけ平行移動した放物線を$C_2$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)$C_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の方程式を求めよ．
(3)直線$\displaystyle y=(a-1) \left( x-\frac{1}{2} \right)$が$C_2$と異なる$2$つの共有点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．

$2$次関数$f(x)=-x^2+(2a-3)x-a^2+3a+4$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数の定数とする．

(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．また，そのときの$x$の値を$a$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$における関数$f(x)$の最小値が$4$であるような，$a$の値をすべて求めよ．
(3)$a$が(2)で求めたそれぞれの値をとるとき，$y=f(x)$のグラフを原点に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ．ただし，$y=f(x)$の定義域は実数全体とする．

次の問いに答えよ．

(1)$x^2+4xy+3y^2-2x-8y-3$を因数分解せよ．
(2)$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3$の$8$個の数字を用いて作ることができる$8$桁の整数の個数を求めよ．
(3)$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=7$のとき$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．
(4)放物線$y=x^2+2x-1$を原点に関して，対称移動したときの放物線の式を求めよ．
(5)$2$次関数$y=-x^2+6x-9$の最大値，最小値があれば，それを求めなさい．

逆行列をもつ行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$によって表される$1$次変換を考える．以下の問いに答えよ．

(1)この変換によって$xy$平面上の任意の$2$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$および$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$がそれぞれ$\mathrm{P}^\prime ({x_1}^\prime,\ {y_1}^\prime)$および$\mathrm{Q}^\prime ({x_2}^\prime,\ {y_2}^\prime)$に移されるとき，$2$点間の距離が変換によって変化しない，つまり，$|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}|^2$であるための必要十分条件は，
\[ A^\mathrm{T}A=E \qquad \cdots\cdots (*) \]
であることを示せ．ただし，$A^\mathrm{T}$は$A$の行と列を入れ替えた行列要素をもつ行列，すなわち，
\[ A^\mathrm{T}=\left( \begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array} \right) \]
である．また，$E$は単位行列である．
(2)原点のまわりの回転移動および$x$軸に関する対称移動の$1$次変換を，それぞれ，$f$および$g$とする．これらの$1$次変換を表す行列は，それぞれ，上の条件$(*)$を満たすことを確かめよ．
(3)$(2)$で考えた$1$次変換$f$および$g$を表す行列をそれぞれ$F$および$G$とし，$A=FGF^{-1}$で定義される行列$A$によって表される$1$次変換を考える．この変換によって直線$y=mx$上の任意の点がそれ自身に移されるとき，$A$を実数$m$を用いて表せ．ただし，$F^{-1}$は$F$の逆行列を表す．
(4)$(1)$で考えた点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$の座標を用いて，$S=x_1y_2-y_1x_2$および$S^{\prime}={x_1}^\prime {y_2}^\prime-{y_1}^\prime {x_2}^\prime$を定義する．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}^\prime$への変換を表す行列が$(3)$で求めた$A$で与えられるとき，$S$と$S^\prime$の関係式を求めよ．

$m$を実数とする．座標平面上で直線$y=x$に関する対称移動を表す$1$次変換を$f$とし，直線$y=mx$に関する対称移動を表す$1$次変換を$g$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$1$次変換$g$を表す行列$A$を求めよ．
(2)合成関数$g \circ f$を表す行列$B$を求めよ．
(3)$B^3=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right)$となる$m$をすべて求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)座標平面において原点のまわりに角$\theta \ (0<\theta<\pi)$だけ回転する移動を表す行列を$A$とする．$A$が等式$A^2-A+E=O$を満たすとき，$\theta$と$A$を求めよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\ O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$である．
(2)直線$y=\sqrt{3}x$に関する対称移動を表す行列$B$を求めよ．
(3)直線$y=kx$に関する対称移動を表す行列$C$とする．(1)，(2)において求めた行列$A,\ B$に対して$BC=A$が成り立つとき，$k$を求めよ．

$t$を1以上の実数とし，$f(x)=x^3+x^2-(t^2+t)x-t$とする．曲線$C:y=f(x)$を原点に関して対称移動して得られる曲線を$C_1$，$C$を$x$軸方向に1だけ平行移動して得られる曲線を$C_2$とする．また，$0 \leqq x \leqq 3$の範囲で，曲線$C_1,\ C_2,\ y$軸および直線$x=3$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$と$C_2$の交点の座標をすべて求めよ．
(2)$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$t$が$t \geqq 1$の範囲を動くとき，$S(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で表される移動により点$(x,\ y)$が点$(x^\prime,\ y^\prime)$に移るとき
\[ x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=x^2+y^2 \]
が常に成り立つとする．

(1)$\left( \begin{array}{cc}
a & c \\
b & d
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$が成り立つことを示せ．

(2)行列$A^2$で表される移動が，原点に関する対称移動になるような行列$A$をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{0.5^2-0.4^2}$を計算せよ．
(2)放物線$y=x^2+4x-1$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ．
(3)循環小数$2.0 \dot{3}$を分数で表せ．
(4)半径がそれぞれ$1$である$2$つの円が，一方の円周上に他方の円の中心があるような位置で重なっている．このとき，$2$つの円が重なっている部分の面積を求めよ．なお，円周率は$\pi$とする．

関数$f(x)=x^2-x-2$によって，方程式$y=f(x)$と表される放物線$P$について，以下の問いに答えよ．

(1)放物線$P$上の点$(0,\ -2)$における，放物線$P$の接線の方程式を求めよ．
(2)放物線$P$を，原点に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ．
(3)(1)で求めた接線と，(2)で求めた放物線で囲まれた部分の面積を求めよ．