「対称移動」について
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公立 大阪府立大学 2015年 第3問$a$を正の定数とする．放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2)$（ただし$t \neq 0$）に対して，$C$の$\mathrm{P}$での接線を$m$，$\mathrm{P}$を通り，$y$軸に平行な直線を$v$とする．直線$m$に関して$v$を対称移動した直線を$\ell$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\ell$の傾きを，$a,\ t$を用いて表せ．
(2)$\ell$の$y$切片は$t$によらず一定であることを示せ．
(1)$\ell$の傾きを，$a,\ t$を用いて表せ．
(2)$\ell$の$y$切片は$t$によらず一定であることを示せ．
公立 高崎経済大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$3$点$(-2,\ -11)$，$(2,\ -7)$，$(4,\ -23)$を通る放物線$A$をグラフとする$2$次関数を求めよ．さらに，放物線$A$を図示せよ．
(2)$(1)$で示した放物線$A$を，次の座標軸または点に関して，それぞれ対称移動して得られる放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．
$①$ $x$軸 \qquad $②$ $y$軸 \qquad $③$ 原点
(3)$(2)$の$①,\ ②,\ ③$で求めた$3$つの$2$次関数の定義域を$0 \leqq x \leqq 2$とする．このとき，それぞれの関数の最大値と最小値を求めよ．
(1)$3$点$(-2,\ -11)$，$(2,\ -7)$，$(4,\ -23)$を通る放物線$A$をグラフとする$2$次関数を求めよ．さらに，放物線$A$を図示せよ．
(2)$(1)$で示した放物線$A$を，次の座標軸または点に関して，それぞれ対称移動して得られる放物線をグラフとする$2$次関数を求めよ．
$①$ $x$軸 \qquad $②$ $y$軸 \qquad $③$ 原点
(3)$(2)$の$①,\ ②,\ ③$で求めた$3$つの$2$次関数の定義域を$0 \leqq x \leqq 2$とする．このとき，それぞれの関数の最大値と最小値を求めよ．
国立 岩手大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=-2 \sin 2x+2 \cos 2x+3$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x+3}-8}{x-1}$が有限な値になるように定数$a$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．
(3)直線$y=x$に関する対称移動の$1$次変換を$f$とする．$1$次変換$g$が点$(2,\ 4)$を点$(4,\ 6)$に移し，合成変換$f \circ g$が点$(2,\ 2)$を点$(-12,\ 4)$に移すとき，$g$を表す行列を求めよ．
(4)次の不定積分を求めよ．
\[ \int x \log (x+1) \, dx \]
(1)関数$y=-2 \sin 2x+2 \cos 2x+3$の最大値と最小値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(2)$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{a \sqrt{x+3}-8}{x-1}$が有限な値になるように定数$a$の値を定め，そのときの極限値を求めよ．
(3)直線$y=x$に関する対称移動の$1$次変換を$f$とする．$1$次変換$g$が点$(2,\ 4)$を点$(4,\ 6)$に移し，合成変換$f \circ g$が点$(2,\ 2)$を点$(-12,\ 4)$に移すとき，$g$を表す行列を求めよ．
(4)次の不定積分を求めよ．
\[ \int x \log (x+1) \, dx \]
私立 神戸薬科大学 2014年 第3問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=2^x$のグラフを$y$軸で対称移動させたのち，$x$軸方向に$-2$だけ平行移動させたグラフの方程式は$[キ]$である．また，$y=2^x$のグラフを$y=x$について対称に移したグラフの方程式を$y=f(x)$の形で表すと$[ク]$である．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{7x^2-8x+6}<\left( \frac{1}{2} \right)^{-8x^2+14x-2}$を$x$について解くと$[ケ]$である．
(1)関数$y=2^x$のグラフを$y$軸で対称移動させたのち，$x$軸方向に$-2$だけ平行移動させたグラフの方程式は$[キ]$である．また，$y=2^x$のグラフを$y=x$について対称に移したグラフの方程式を$y=f(x)$の形で表すと$[ク]$である．
(2)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{7x^2-8x+6}<\left( \frac{1}{2} \right)^{-8x^2+14x-2}$を$x$について解くと$[ケ]$である．
私立 神戸薬科大学 2014年 第5問次の問いに答えよ．
(1)軸が直線$x=2$で，$2$点$(4,\ 1)$，$(3,\ 7)$を通る放物線$C_1$の方程式を求めると$[シ]$である．また，点$(4,\ 1)$における放物線$C_1$の接線の方程式を求めると$[ス]$である．
(2)放物線$C_1$を原点に関して対称移動して得られる放物線$C_2$の方程式を求めると$[セ]$である．
(3)$2$つの放物線$C_1,\ C_2$で囲まれた部分の面積を求めると$[ソ]$である．
(4)放物線$C_2$を$y$軸方向に平行移動すると，放物線$C_1$と$1$点で接した．平行移動して得られた放物線の方程式は$[タ]$である．
(1)軸が直線$x=2$で，$2$点$(4,\ 1)$，$(3,\ 7)$を通る放物線$C_1$の方程式を求めると$[シ]$である．また，点$(4,\ 1)$における放物線$C_1$の接線の方程式を求めると$[ス]$である．
(2)放物線$C_1$を原点に関して対称移動して得られる放物線$C_2$の方程式を求めると$[セ]$である．
(3)$2$つの放物線$C_1,\ C_2$で囲まれた部分の面積を求めると$[ソ]$である．
(4)放物線$C_2$を$y$軸方向に平行移動すると，放物線$C_1$と$1$点で接した．平行移動して得られた放物線の方程式は$[タ]$である．
私立 名城大学 2014年 第1問次の$[ ]$に答えを記入せよ．
(1)$2$個のさいころを振って，出た目の逆数の和が整数になる確率は$[ア]$である．また，$3$個のさいころを振って，出た目の逆数の和が$1$になる確率は$[イ]$である．
(2)座標平面で直線$y=3x$についての対称移動を$f$，原点を中心とした${60}^\circ$の回転移動を$g$とする．点$\mathrm{P}(2,\ -1)$の$f$による像を点$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$の$g$による像を点$\mathrm{R}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[ウ]$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$[エ]$である．
(1)$2$個のさいころを振って，出た目の逆数の和が整数になる確率は$[ア]$である．また，$3$個のさいころを振って，出た目の逆数の和が$1$になる確率は$[イ]$である．
(2)座標平面で直線$y=3x$についての対称移動を$f$，原点を中心とした${60}^\circ$の回転移動を$g$とする．点$\mathrm{P}(2,\ -1)$の$f$による像を点$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$の$g$による像を点$\mathrm{R}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[ウ]$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$[エ]$である．
私立 北海学園大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$2$つの不等式$x^2-x-6<0$と$x^2-x-2>0$を同時に満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(2)放物線$y=x^2-2x+2$を$x$軸に関して対称移動した後に，$x$軸方向に$3$，$y$軸方向に$4$だけ平行移動した放物線の頂点の座標を求めよ．
(3)$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$のとき，$\displaystyle \frac{2}{1+\tan^2 \theta}+4 \cos \theta-2 \sin^2 \theta-1=0$を満たす$\theta$の値を求めよ．
(1)$2$つの不等式$x^2-x-6<0$と$x^2-x-2>0$を同時に満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(2)放物線$y=x^2-2x+2$を$x$軸に関して対称移動した後に，$x$軸方向に$3$，$y$軸方向に$4$だけ平行移動した放物線の頂点の座標を求めよ．
(3)$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$のとき，$\displaystyle \frac{2}{1+\tan^2 \theta}+4 \cos \theta-2 \sin^2 \theta-1=0$を満たす$\theta$の値を求めよ．
公立 北九州市立大学 2014年 第2問$2$つの曲線$C_1:f(x)=x^3-x$と$C_2:g(x)=x^3+x^2+ax$について考える．ただし，$a$は定数である．曲線$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{1}{2},\ -\frac{3}{8})$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{B}(p,\ q)$において曲線$C_1$と直線$\ell$は交わっている．以下の問題に答えよ．
(1)曲線$C_1$を原点に関して対称移動したグラフは$C_1$自身であることを証明せよ．
(2)直線$\ell$の方程式と$p,\ q$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)$の$\displaystyle p \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値と最小値を求めよ．
(4)関数$g(x)$が極値を持たないための必要十分条件を導関数$g^\prime(x)$を用いて表せ．また，このときの定数$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$a=1$のとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C_1$を原点に関して対称移動したグラフは$C_1$自身であることを証明せよ．
(2)直線$\ell$の方程式と$p,\ q$の値を求めよ．
(3)関数$f(x)$の$\displaystyle p \leqq x \leqq \frac{1}{2}$における最大値と最小値を求めよ．
(4)関数$g(x)$が極値を持たないための必要十分条件を導関数$g^\prime(x)$を用いて表せ．また，このときの定数$a$の値の範囲を求めよ．
(5)$a=1$のとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 北海道大学 2013年 第2問座標平面上で，直線$y=x$に関する対称移動を$f$とし，実数$c$に対して，直線$y=cx$に関する対称移動を$g$とする．また，原点を中心とする$120^\circ$の回転移動を$h$とする．
(1)$f$を表す行列，および$h$を表す行列を求めよ．
(2)$g$を表す行列を求めよ．
(3)合成変換$f \circ g$が$h$になるように$c$の値を定めよ．
(1)$f$を表す行列，および$h$を表す行列を求めよ．
(2)$g$を表す行列を求めよ．
(3)合成変換$f \circ g$が$h$になるように$c$の値を定めよ．
国立 室蘭工業大学 2013年 第5問$s,\ t$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
s & t
\end{array} \right)$は逆行列$A^{-1}$をもち，$A^{-1}=A$であるとする．
(1)$s,\ t$の値を求めよ．
(2)行列$A$は直線$y=mx$（$m$は実数）に関する対称移動を表している．$m$の値を求めよ．
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
s & t
\end{array} \right)$は逆行列$A^{-1}$をもち，$A^{-1}=A$であるとする．
(1)$s,\ t$の値を求めよ．
(2)行列$A$は直線$y=mx$（$m$は実数）に関する対称移動を表している．$m$の値を求めよ．