定積分$\displaystyle I_n=\int_1^e (\log x)^n \, dx$について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数，$e$は自然対数の底とする．

(1)関数$f(x)=x(\log x)^n$の導関数を求めよ．
(2)$I_1$を求めよ．
(3)$I_n$と$I_{n+1}$の間に成立する関係式を求めよ．
(4)(3)で求めた関係式を用いて$I_4$を求めよ．

$n$は2以上の自然数とする．1つの袋と1つの箱がある．袋には白玉3個と赤玉2個が入っており，箱には何も入っていない．次の操作を考える．

袋から玉を1個取り出し，白玉なら袋に戻し，赤玉なら箱に入れる．

この操作を$n$回繰り返す．$n$回目の操作の後，箱に入っている赤玉の個数を$X$とする．

(1)$k$を$n$以下の自然数とする．$k$回目の操作では赤玉を取り出し$k$回目以外の$n-1$回の操作では白玉を取り出す確率を$n$と$k$を用いて表せ．次に，$X=1$である確率$p_n$を求めよ．
(2)$X=2$である確率$q_n$を求めよ．
(3)$X$の期待値$E_n$を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\log (2-E_n)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

\mon[(ア)] $\displaystyle 10^n < \left( \frac{5}{2} \right)^m$を満たす自然数$m$に対し，$5n<2m$を証明せよ．
\mon[(イ)] $\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^n<\frac{1}{5000}< \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1}$を満たす$n$を求めよ．

(2)実数$x,\ y$が連立不等式$4x-3y \geqq 1,\ -2x+6y \geqq 1$を満たすとき，$\log_8(4^x+8^y)$の最小値を求めよ．

$n$を自然数とし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

(1)$\displaystyle 10^n < \left( \frac{5}{2} \right)^m$を満たす自然数$m$に対し，$5n<2m$を証明せよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^n<\frac{1}{5000}< \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1}$を満たす$n$を求めよ．

$n$を自然数とし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

(1)$\displaystyle 10^n < \left( \frac{5}{2} \right)^m$を満たす自然数$m$に対し，$5n<2m$を証明せよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^n<\frac{1}{5000}< \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1}$を満たす$n$を求めよ．

$n$を自然数とし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

(1)$\displaystyle 10^n < \left( \frac{5}{2} \right)^m$を満たす自然数$m$に対し，$5n<2m$を証明せよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^n<\frac{1}{5000}< \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n-1}$を満たす$n$を求めよ．

実数$x$に対して，$t=e^x+e^{-x}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$t$のとり得る値の最小値$m$を求めよ．
(2)$e^{2x}+e^{-2x}$を$t$の式で表せ．
(3)$t=e^x+e^{-x}$とおいて置換積分することにより，定積分$\displaystyle I=\int_{\log 2}^{\log 4}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx$を求めよ．
(4)定数$a$に対して，$\displaystyle \int_{a}^{2a}\frac{2e^x-2e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+1} \, dx=\log \frac{3}{2}$となるとき，$e^a+e^{-a}$の値を求めよ．（$a$の値は求めなくてよい．）

$e$は自然対数の底，$a,\ b,\ c$は実数である．放物線$y=ax^2+b$を$C_1$とし，曲線$y=c \log x$を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$が点P$(e,\ e)$で接しているとき，次の問いに答えよ．ここで，2つの曲線が点Pで接しているとは，ともに点Pを通り，かつ，その点における接線が一致していることである．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)$C_1,\ C_2$および$x$軸，$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$4 \log_4 x \leqq \log_2 (4-x) +1$を解け．
(2)(1)で求めた$x$の範囲において，関数$y=9^x-4 \cdot 3^x+10$の最大値，最小値とそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$\log_2(x^2-2)-\log_2(2x+1) \leqq 0$を満たす実数$x$の値の範囲を求めよ．
(2)円$(x-2)^2+(y-3)^2=25$上に中心を持ち，$x$軸と$y$軸のいずれにも接する円の方程式をすべて求めよ．
(3)整式$P(x)$は$(x-1)^2$で割ると$5x-7$余り，$x-2$で割ると$10$余る．$P(x)$を$(x-1)^2(x-2)$で割ったときの余りを求めよ．