次の問いに答えよ．

(1)$x>0,\ x \neq 1$とする．方程式$\log_2 x+2\log_x 2=3$を解け．
(2)$x>0,\ x \neq 2,\ y>0$とする．次の連立方程式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\log_{\frac{x}{2}}y=2 \\
xy=16
\end{array}
\right. \]
(3)$x>0,\ x \neq 2,\ y>0$とする．次の連立方程式の表す領域を図示せよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\log_{\frac{x}{2}}y<2 \\
xy<16
\end{array}
\right. \]

次の問いに答えよ．

(1)$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq \pi$をみたすとき，方程式
\[ -\sin 2\theta \cos \theta +2 \cos 2\theta + \sin \theta = 0 \]
を解け．
(2)関数
\[ y = \log_2 (2-x) + \log_{\sqrt{2}} (x+1) \]
の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を定数とする．関数$y = a(x - \sin 2x) \ (-\pi \leqq x \leqq \pi)$の最大値が2であるような$a$の値を定めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^3 \frac{\log (x+1)}{x^2} \, dx$を求めよ．

$n$を自然数とし，1から$n$までの自然数の積を$n!$で表す．このとき以下の問いに答えよ．

(1)単調に増加する連続関数$f(x)$に対して，不等式$\displaystyle \int_{k-1}^k f(x) \, dx \leqq f(k)$を示せ．
(2)不等式$\displaystyle \int_1^n \log x\, dx \leqq \log n!$を示し，不等式$n^ne^{1-n} \leqq n!$を導け．
(3)$x \geqq 0$に対して，不等式$x^ne^{1-x} \leqq n!$を示せ．

$a \ (a>0)$を定数とし，$f(x)=2a \log x - (\log x)^2$とする．関数$y = f(x)$のグラフは，$x$軸と点P$_1(x_1,\ 0)$，P$_2(x_2,\ 0) \ (x_1<x_2)$で交わっている．次の問いに答えよ．

(1)$x_1,\ x_2$の値を求めよ．また，$y = f(x)$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(2)点P$_1$，P$_2$における$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$の交点の$x$座標を$X(a)$と表すとき，$\displaystyle \lim_{a \to \infty} X(a)$を求めよ．
(3)$a = 1$とするとき，$y = f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

次の極限値を求めよ．

(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \log \left( 1+\frac{k}{n} \right)$
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \sin \frac{k}{n} \pi$

次の問いに答えよ．

(1)$-\pi \leqq x < \pi$とする．さらに$x$が$\cos x-\cos 2x \geqq 0$を満たすとき，$\sin x +\sqrt{3}\cos x$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$x$が$\log_2 x+\log_2 (6-x) \geqq 0$を満たすとき，$\log_2 (1+x)+\log_2 (7-x)$のとりうる値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数とする．

(1)$0<x<1$なる実数$x$に対して，不等式
\[ \log \frac{1+x}{1-x}<2x+\frac{2}{3} \cdot \frac{x^3}{1-x^2} \]
が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\displaystyle \log 2< \frac{25}{36}$が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)次の連立不等式を解け．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4x^2-4x-15<0 \\
x^2-2x \geqq 0
\end{array}
\right. \]
(2)鈍角三角形ABCにおいて，$\text{BC}=1,\ \text{CA}=\sqrt{3},\ \angle \text{A}=30^\circ$であるとき，ABの長さを求めよ．
(3)原点O，および3点A$(1,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 1,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ 1)$がある．$0<s<1$に対して，線分AB，線分CAを$s:(1-s)$に内分する点を，それぞれP，Qとするとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$s$を用いて表せ．
(4)方程式$\displaystyle \left( \log_2\sqrt{x}+\log_2x^2+\log_2\frac{1}{x} \right)^2=9$を解け．
(5)数列$1,\ a,\ b,\ c$はこの順に等差数列であり，数列$a,\ b,\ 1,\ c$はこの順に等比数列であるとする．このとき，$c=1$であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$-\pi \leqq x < \pi$とする．さらに$x$が$\cos x-\cos 2x \geqq 0$を満たすとき，$\sin x +\sqrt{3}\cos x$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$x$が$\log_2 x+\log_2 (6-x) \geqq 0$を満たすとき，$\log_2 (1+x)+\log_2 (7-x)$のとりうる値の範囲を求めよ．