次の$(1)$から$(8)$に答えなさい．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2+px+q}{x-3}=7$が成り立つように，$p$と$q$の値を求めなさい．
(2)関数$f(x)=ax^2+bx$について，$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx=2$および$\displaystyle \int_2^4 f(x) \, dx=50$を満足するように，$a$と$b$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 6}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$の和を求めなさい．
(4)$a(b^2-c^2)-b(a^2-c^2)-c(b^2-a^2)$を因数分解しなさい．
(5)学生$10$人が$3$台の車（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に分乗する．$\mathrm{A}$に$5$人，$\mathrm{B}$に$3$人，$\mathrm{C}$に$2$人ずつ分乗する方法は何通りになるか，求めなさい．
(6)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{2}+2 \log_2 \sqrt{32}$を簡単にしなさい．
(7)$\sin 75^\circ+\cos 15^\circ$を求めなさい．
(8)$3$つの箱（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に「くじ」が$10$本ずつ入っている．そのうち，「当たり」が$\mathrm{A}$の箱には$2$本，$\mathrm{B}$の箱には$3$本，$\mathrm{C}$の箱には$1$本入っている．それぞれの箱から$1$本ずつ無作為に「くじ」を引いたとき，$3$本とも「はずれ」である確率を求めなさい．

$2$つの曲線$C_1:y=x \log x$，$C_2:y=2x \log x$について，次の問いに答えよ．ただし，$x>0$である．

(1)$C_1$と$C_2$に共通する接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C_1,\ C_2$および$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^n}{x}$について，次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)関数$f(x)$の増減，極値を調べよ．
(2)$n=3$のとき，関数$f(x)$の曲線の凹凸を調べ，そのグラフをかけ．

$n$個のボールを2$n$個の箱へ投げ入れる．各ボールはいずれかの箱に入るものとし，どの箱に入る確率も等しいとする．どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率を$p_n$とする．このとき，極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{\log p_n}{n}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$k$に対して，次の不等式を示せ．
\[ \frac{1}{2(k+1)}< \int_0^1 \frac{1-x}{k+x}\, dx < \frac{1}{2k} \]
(2)$m>n$であるようなすべての自然数$m$と$n$に対して，次の不等式を示せ．
\[ \frac{m-n}{2(m+1)(n+1)} < \log \frac{m}{n} -\sum_{k=n+1}^m \frac{1}{k} < \frac{m-n}{2mn} \]

関数
\[ f(x) = 2\log(1+e^x)-x-\log 2 \]
を考える．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底とする．

(1)$f(x)$の第2次導関数を$f^{\,\prime\prime}(x)$とする．等式
\[ \log f^{\,\prime\prime}(x) = -f(x) \]
が成り立つことを示せ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\log 2} (x-\log 2)e^{-f(x)}\, dx$を求めよ．

$\log x$は$x$の自然対数であり，自然対数の底$e$の値は$2.718\cdots\cdots$である．$f_0(x)=1$とし，自然数$n$に対して$f_n(x)=(\log x)^n$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f_n(x)=x$が異なる3つの実数解をもつときの$n$をすべて求めよ．必要ならば，すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^n}{x}=0$であることを用いてもよい．
(2)$\displaystyle a_0=\int_1^e f_0(x) \, dx$とし，$\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\int_1^e f_n(x) \, dx$とする．自然数$n$に対して$a_{n-1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(3)(2)の関係式を用いて，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!}$を求めよ．

$\displaystyle f(x) =\frac{\log x}{x},\ g(x) = \frac{2 \log x}{x^2} \ (x > 0)$とする．以下の問に答えよ．ただし，自然
対数の底$e$について，$e=2.718 \cdots$であること，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$であることを証明なしで用いてよい．

(1)2曲線$y = f(x)$と$y = g(x)$の共有点の座標をすべて求めよ．
(2)区間$x>0$において，関数$y = f(x)$と$y = g(x)$の増減，極値を調べ，2曲線$y = f(x),\ y = g(x)$のグラフの概形をかけ．グラフの変曲点は求めなくてよい．
(3)区間$1 \leqq x \leqq e$において，2曲線$y = f(x)$と$y = g(x)$，および直線$x = e$で囲まれた図形の面積を求めよ．

連立方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
2^x+3^y=43 \\
\log_2 x- \log_3 y=1
\end{array}
\right. \]
を考える．

(1)この連立方程式を満たす自然数$x,\ y$の組を求めよ．
(2)この連立方程式を満たす正の実数$x,\ y$は，(1)で求めた自然数の組以外に存在しないことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$x+x^2 \log x > 0$が成り立つことを示せ．
(2)関数$y = -x^2 \log x$の増減，グラフの凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．