不等式
\[ \log_2 (2y-1)-1 \geqq \log_2 (1-x) \geqq \log_2 y - \log_2 x -2 \]
の表す$xy$平面上の領域を$D$とする．

(1)$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．
(3)点$(x,\ y)$が$D$を動くとき，$z=xy$の最大値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不定積分
\[ I_1=\int \log x \, dx,\quad I_2=\int (\log x)^2 \, dx \]
をそれぞれ求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
(2)$2$曲線$y=\log (x+1),\ y=\log 2x$と$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

2つの関数$f(t)=t \log t$と$g(t)=t^3-9t^2+24t$が与えられているとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(t)$は$t \geqq 1$の範囲で単調に増加することを示せ．
(2)$t \geqq 1$のとき
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x=f(t) \\
y=g(t)
\end{array}
\right. \]
と媒介変数表示される関数$y=h(x)$の$x \geqq 0$の範囲における増減を調べて，極大値と極小値を求めよ．
(3)$xy$平面上で，曲線$y=h(x)$，2直線$x=f(2),\ x=f(4)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

放物線$C_1:y=x^2-4x+a$と曲線$C_2:y=6 \log x$とが点Pで接している．ただし，$a$は実数とする．

(1)$a$の値，およびPの座標を求めよ．
(2)Pにおける$C_1,\ C_2$の接線を$\ell$とする．このとき，$\ell$，$x$軸，および$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を2以上の自然数とするとき，不等式$\displaystyle \int_1^n \log x \, dx< \log 1+\log 2+\cdots +\log n$が成り立つことを示せ．
(2)$a$を正の実数とするとき，上の不等式を用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a^n}{n!}=0$を示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{\left( 2+\displaystyle\frac{n}{n+1} \right)^n}{n!}$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$3$次方程式$4x^3-3x+1=0$を解け．
(2)$\displaystyle \log_2 \cos \theta+\log_2 \left( \sin^2 \theta-\frac{1}{4} \right)+2=0$を満たす$\theta$で，$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲にあるものを求めよ．

次の空欄$[ア]$から$[ケ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

(1)自然数$n$に対し$n!$で$n$の階乗$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot (n-1) \cdot n$を表し，$2$を底とする対数関数を$\log_2 (x)$とする．このとき，
\[ \log_2(1!)-\log_2(2!)+\log_2(3!)-\log_2(4!)=[ア] \]
となる．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{BC}$の長さを$a$，辺$\mathrm{CA}$の長さを$b$，辺$\mathrm{AB}$の長さを$c$，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とおく．$S$を$b,\ c$と$\mathrm{A}$を使って表すと，
\[ S=\frac{1}{2}bc [イ] \]
となる．また，$a,\ b,\ c,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$の間には
\[ b=a \frac{[ウ]}{\sin \mathrm{A}},\quad c=a \frac{[エ]}{\sin \mathrm{A}} \]
という関係がある．よって，$S$を$a,\ \mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$で表すと，
\[ S=\frac{1}{2}a^2 [オ] \]
となる．とくに，$\mathrm{B}=30^\circ$，$\mathrm{C}=45^\circ$，$a=1$のときには，
\[ \sin \mathrm{B}=[カ],\quad \sin \mathrm{C}=[キ] \]
また，
\[ \sin \mathrm{A}=[ク] \]
だから，
\[ S=\frac{-1+[ケ]}{4} \]
となる．

関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x^2}$のグラフを$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x^2}$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，増減表をつくり，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x^2}=0$を用いてもよい．
(2)$a$を定数とする．方程式$\log x=ax^2$の異なる実数解の個数を調べよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>-1$のとき，$\log (1+x) \leqq x$であることを示せ．
(2)$m$を自然数として，$p_n \ (n=1,\ 2,\ \cdots,\ m-1)$は$\displaystyle p_1=1-\frac{1}{m}$と$\displaystyle p_k=\left( 1-\frac{k}{m} \right)p_{k-1}$ \ $(k=2,\ 3,\ \cdots,\ m-1)$で定められるものとする．$m=365$のとき，$\displaystyle \log p_n \leqq -\frac{n(n+1)}{730}$であることを示せ．

以下の問に答えなさい．

(1)$x=2^{60}$のとき，次の問に答えなさい．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

(i) $x$は何桁の数か．
(ii) $\displaystyle \frac{1}{x}$は小数点以下何桁に初めて$0$ではない数が出てくるか．

(2)次の数列の第$k$項$a_k \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と，第$1$項から第$n$項までの和$S_n$とを求めなさい．
$3,\ 33,\ 333,\ 3333,\ 33333,\ \cdots$