「対数」について
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私立 早稲田大学 2011年 第1問以下の問に答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\log_{10}(S_n+1)=n$が成り立っているとき，一般項は$a_n=[ア]\cdot[イ]^{n-[ウ]}$となる．
(2)方程式$\log_{x-3}(x^3-8x^2+20x-17)=3$の解は$x=[エ]$である．
(1)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\log_{10}(S_n+1)=n$が成り立っているとき，一般項は$a_n=[ア]\cdot[イ]^{n-[ウ]}$となる．
(2)方程式$\log_{x-3}(x^3-8x^2+20x-17)=3$の解は$x=[エ]$である．
私立 玉川大学 2011年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$3$つの数字を使って作られる$3$桁の整数の中で，$345$より大きなものは$[ ]$個である．また，$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$4$つの数字を使って作られる$4$桁の整数は，全部で$[ ]$個である．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(-1,\ 5)$のなす角を$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]}}$である．また，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]}}$である．したがって，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で作られる平行四辺形の面積は$[ ]$である．
(3)$n \leqq \log_{10}2^{40}<n+1$を満たす整数は$n=[ ]$であるから，$2^{40}$は$[ ]$桁の整数である．$\log_{10}2$の値として$0.3010$を用いてよい．
(4)方程式$x^2=3+\sqrt{3+x}$の解は$x=[ ]$，$\displaystyle \frac{[ ]+\sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
(1)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$3$つの数字を使って作られる$3$桁の整数の中で，$345$より大きなものは$[ ]$個である．また，$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から異なる$4$つの数字を使って作られる$4$桁の整数は，全部で$[ ]$個である．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(-1,\ 5)$のなす角を$\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]}}$である．また，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[ ]}{\sqrt{[ ]}}$である．したがって，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で作られる平行四辺形の面積は$[ ]$である．
(3)$n \leqq \log_{10}2^{40}<n+1$を満たす整数は$n=[ ]$であるから，$2^{40}$は$[ ]$桁の整数である．$\log_{10}2$の値として$0.3010$を用いてよい．
(4)方程式$x^2=3+\sqrt{3+x}$の解は$x=[ ]$，$\displaystyle \frac{[ ]+\sqrt{[ ]}}{[ ]}$である．
私立 愛知学院大学 2011年 第2問次の不等式を解きなさい．ただし$a \neq 1$，$a>0$とする．
\[ 2 \log_a (2x+1)>\log_a (2x+7)+\log_a x \]
\[ 2 \log_a (2x+1)>\log_a (2x+7)+\log_a x \]
私立 愛知学院大学 2011年 第2問不等式
\[ \log_2 (1-x)+\log_4 (x+2)<1 \]
を満たす実数$x$の範囲を求めなさい．
\[ \log_2 (1-x)+\log_4 (x+2)<1 \]
を満たす実数$x$の範囲を求めなさい．
公立 首都大学東京 2011年 第1問$f(x)=\log x -2x+1 (x>0)$とする．$a$を正の定数とし，$t$は$0<t<a$をみたす実数とする．関数$y=f(x)$のグラフ上に$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を，それぞれの$x$座標が$a-t,\ a,\ a+t$となるようにとる．以下の問いに答えなさい．
(1)$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(2)点$\mathrm{R}$が$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を満たすとき，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を求めなさい．
(3)四角形$\mathrm{APRQ}$の面積$S(t)$を求めなさい．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to -0}\frac{S(t)}{t^3}$を求めなさい．
(1)$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(2)点$\mathrm{R}$が$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を満たすとき，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を求めなさい．
(3)四角形$\mathrm{APRQ}$の面積$S(t)$を求めなさい．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to -0}\frac{S(t)}{t^3}$を求めなさい．
公立 高崎経済大学 2011年 第1問以下の各問いに答えよ．
(1)次の方程式を解け．
\[ |x+3| = 2x \]
(2)$a$を素数とする．$2$次方程式$x^2 -ax+66 = 0$の$2$つの解のうち，ただ$1$つのみが素数であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$A = 60^\circ$，外接円の半径$R$が$7$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)$\log_{10} 2 = 0.3010,\ \log_{10} 3 = 0.4771$とする．$12^{20}$は何桁の整数か．
(5)$15$本のくじの中に当たりくじが$3$本ある．この中から$2$本のくじを同時に引くとき，少なくとも$1$本が当たる確率を求めよ．
(6)次の$3$点が同一直線上にあるように，$m,\ n$の値を定めよ．
\[ \mathrm{A}(2,\ -1,\ -2),\ \mathrm{B}(4,\ 2,\ 5),\ \mathrm{C}(m,\ -4,\ n) \]
(7)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-2}^2 |x-1|(x-1) \, dx \]
(8)四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB} = 5,\ \mathrm{BC} = 3,\ \mathrm{CD} = 7,\ B = 120^\circ,\ D = 60^\circ$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．
(1)次の方程式を解け．
\[ |x+3| = 2x \]
(2)$a$を素数とする．$2$次方程式$x^2 -ax+66 = 0$の$2$つの解のうち，ただ$1$つのみが素数であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$A = 60^\circ$，外接円の半径$R$が$7$のとき，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)$\log_{10} 2 = 0.3010,\ \log_{10} 3 = 0.4771$とする．$12^{20}$は何桁の整数か．
(5)$15$本のくじの中に当たりくじが$3$本ある．この中から$2$本のくじを同時に引くとき，少なくとも$1$本が当たる確率を求めよ．
(6)次の$3$点が同一直線上にあるように，$m,\ n$の値を定めよ．
\[ \mathrm{A}(2,\ -1,\ -2),\ \mathrm{B}(4,\ 2,\ 5),\ \mathrm{C}(m,\ -4,\ n) \]
(7)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{-2}^2 |x-1|(x-1) \, dx \]
(8)四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB} = 5,\ \mathrm{BC} = 3,\ \mathrm{CD} = 7,\ B = 120^\circ,\ D = 60^\circ$とするとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$を求めよ．
公立 岡山県立大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\sqrt{n^2+27}$が整数であるような自然数$n$をすべて求めよ．
(2)$a$を実数とする．$x>0$で定義された連続関数$f(x)$が，すべての$x>0$に対して
\[ \int_1^x f(t) \, dt =(\log x)^2+a^3x-2a-4 \]
を満たすとき，$a$の値と$f(x)$を求めよ．
(1)$\sqrt{n^2+27}$が整数であるような自然数$n$をすべて求めよ．
(2)$a$を実数とする．$x>0$で定義された連続関数$f(x)$が，すべての$x>0$に対して
\[ \int_1^x f(t) \, dt =(\log x)^2+a^3x-2a-4 \]
を満たすとき，$a$の値と$f(x)$を求めよ．
公立 岡山県立大学 2011年 第4問次の定積分を求めよ．
(1)$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{x\{1+(\log x)^2\}} \; dx$
(2)$\displaystyle \int_0^\pi x^2 \cos nx \; dx \quad (n\text{は自然数})$
(3)$\displaystyle \int_0^1 \cos m\pi x \; \cos n\pi x \; dx \quad (m,\ n \text{は0以上の整数})$
(1)$\displaystyle \int_1^e \frac{\log x}{x\{1+(\log x)^2\}} \; dx$
(2)$\displaystyle \int_0^\pi x^2 \cos nx \; dx \quad (n\text{は自然数})$
(3)$\displaystyle \int_0^1 \cos m\pi x \; \cos n\pi x \; dx \quad (m,\ n \text{は0以上の整数})$
公立 高知工科大学 2011年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{2(\log x)^2-3\log x}{x} \ (x>0)$について，次の各問に答えよ．ただし$\log x$は自然対数である．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．また，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$を解け．
(2)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．また，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
公立 県立広島大学 2011年 第2問初項$a$，公比$r$の等比数列$\{a_n\}$において
\[ a_1<a_2,\quad a_1+a_2+a_3=42,\quad a_1a_2a_3=512 \]
とする．ただし，$a,\ r$は実数である．
(1)初項$a$と公比$r$を求めよ．
(2)$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とするとき，$S_n>10^5$を満たす最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
\[ a_1<a_2,\quad a_1+a_2+a_3=42,\quad a_1a_2a_3=512 \]
とする．ただし，$a,\ r$は実数である．
(1)初項$a$と公比$r$を求めよ．
(2)$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とするとき，$S_n>10^5$を満たす最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．