次の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-(2a+1)x-3a+1=0$（$a$は定数）の$1$つの解が$x=-1$であるとき，$a=[ア]$であり，他の解は$x=[イ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{5+14i}{4+i}=[ウ]+[エ]i$（ただし，$i^2=-1$）である．
(3)$(x^2+3x+2)(x^2-3x+2)=x^4-[オ]x^2+[カ]$である．
(4)$2n^2-9n-5 \leqq 0$をみたす整数$n$は全部で$[キ]$個ある．
(5)$10$本のくじのうち$4$本が当たりくじである．この中から，同時に$2$本のくじを引くとき，少なくとも$1$本は当たりくじである確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(6)ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 2,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 1,\ 1)$において，内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[コ]$であり，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$[サシ]^\circ$である．
(7)$3^n>10000$をみたす最小の整数$n$は$[ス]$である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(8)$\displaystyle \int_{-2}^1 (x^2-2x+3) \, dx=[セソ]$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)方程式$9^{\log_3 x}=27$を解くと，$x=[　]$である．
また，方程式$\log_2 x+2 \log_4 (x-3)=1$を解くと，$x=[　]$である．
(2)$x$についての$3$次式$P(x)$を$x-2$で割ると商は$Q(x)$，余りは$a$で，$Q(x)$を$x-2$で割ると商は$x+3$，余りは$b$である．ただし，$a,\ b$は実数とする．方程式$P(x)=0$が虚数解$2+i$をもつとき，$a$と$b$の値を求めると，$(a,\ b)=[　]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[　]$である．
(3)$1$個のさいころを$2$回投げて，$2$回目に$1$回目以上の目が出たときはお菓子を$1$個もらえ，それ以外のときは$2$回目に出た目と同じ個数だけお菓子がもらえるとする．このとき，お菓子を$3$個もらえる確率は$[　]$である．また，もらえるお菓子の個数の期待値は$[　]$である．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．

(1)$(x+1)(y+1)(xy+1)+xy$を因数分解すると$[　]$である．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，$2 \sin x=1$を満たす$x$は$x=[　]$である．
(3)$L=\log_a b \times \log_b c \times \log_c a$の値を計算すると$L=[　]$である．
(4)$|m^2-30|<20$を満たす整数$m$は全部で$[　]$個ある．
(5)$4$次方程式$x^4+ax^3+(a+3)x^2+16x+b=0$の解のうち$2$つは$1$と$2$である．このとき，$a=[　]$，$b=[　]$であり，残りの解は$[　]$と$[　]$である．

関数$f(x)=x^{-2} \log x (x>0)$について次の問いに答えよ．

(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(p,\ f(p))$における接線の方程式を求めよ．また，原点を通る接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)$m \neq -1$に対して，不定積分$\displaystyle \int x^m \log x \, dx$を求めよ．また，曲線$y=f(x)$，直線$\ell$，および$x$軸で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$(x+y+1)^{10}$の展開式で，$x^5y^3$の係数は$[　]$である．
(2)$1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4+4 \cdot 5+\cdots +n(n+1)=[　]$である．ただし，$n$は正の整数である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \sin B \sin C=\frac{3bc}{4a^2}$が成り立つとき，$A=[　]$である．ただし，$A=\angle \mathrm{CAB}$，$B=\angle \mathrm{ABC}$，$C=\angle \mathrm{BCA}$，また，$a=\mathrm{BC}$，$b=\mathrm{CA}$，$c=\mathrm{AB}$である．
(4)$a,\ b,\ s,\ t$を$1$でない正の実数とし，$\log_a s+\log_b t=3$，$\log_s a+\log_t b=4$が成り立つとき，$(\log_a s)(\log_b t)$の値は$[　]$である．
(5)$x$を$0$でない実数とするとき，関数$\displaystyle f(x)=\left( x+\frac{1}{x} \right)^2-\left( x+\frac{1}{x} \right)$の最小値を調べなさい．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle\frac{2}{1+\displaystyle\frac{3}{1+\displaystyle\frac{4}{1+\displaystyle\frac{5}{6}}}}}$を簡単にすると，$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$となる．

(2)整式$x^{2011}$を$x^2+1$で割った余りは，$[　]$となる．
(3)対数方程式$\log_{x-1}(x^3-3x^2-x+3)=2$を解くと，$x=[　]$となる．
(4)$-{90}^\circ<x<0^\circ$において，$\displaystyle \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}=8$のとき，$\displaystyle \tan \frac{x}{2}=[　]$となる．
(5)第$1$項から第$n$項（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）までの和が$3n^2-n$である数列の第$100$項目の数は$[　]$である．

次の問いに答えなさい．

$1$から$6$までのどの目も同様に確からしく出るサイコロ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\mathrm{A}$を振って出た目を$x$，$\mathrm{B}$を振って出た目を$y$，$\mathrm{C}$を振って出た目を$z$とする．

(1)積$xyz$が奇数である確率は$[　]$である．
(2)$(x-y)(y-z)=0$となる確率は$[　]$である．
(3)空間のベクトル$\overrightarrow{a}=(x,\ y,\ z)$に対して，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{p}=(2,\ -1,\ 0)$が垂直である確率は$[　]$，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{q}=(1,\ 2,\ 3)$が平行である確率は$[　]$である．
(4)$\log_3 x+\log_3 y+\log_3 z$が整数となる確率を求めなさい．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．

(1)$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{18} (-1)^n \log_{10}(n+1)(n+2)$の値を計算すると$S=[　]$である．
(2)$a>0,\ b>0,\ a+b=1$のとき，$\displaystyle \left( 2+\frac{1}{a} \right) \left( 2+\frac{1}{b} \right)$の最小値は$[　]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+ax+a^2-4=0$が正の解と負の解を$1$つずつ持つときの定数$a$の値の範囲は，$[　]<a<[　]$である．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2a_n+2n-5$で与えられている．このとき，$a_1=[　]$である．また，$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと$a_{n+1}=[　]$である．

次の問に答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int {(\log x)}^2 \, dx$を求めよ．
(2)関数$y=\log x$のグラフを$C$とする．$C$に接し，かつ原点を通る直線$\ell$の式を求めよ．
(3)$C$と$\ell$と$x$軸とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

曲線$y=e^{x^2}-1 (x \geqq 0)$を$y$軸のまわりに回転させてできる容器がある．この容器に，時刻$t$における水の体積が$vt$となるように，単位時間あたり$v$の割合で水を注入する．ただし，$v$は正の定数であり，$y$軸の負の方向を鉛直下方とする．

(1)不定積分$\displaystyle \int \log (y+1) \, dy$を求めよ．
(2)水面の高さが$h$となったときの容器内の水の体積$V$を，$h$を用いて表せ．ただし，$h$は容器の底から測った高さである．
(3)水面の高さが$e^{10}-1$となった瞬間における，水面の高さの変化率$\displaystyle \frac{dh}{dt}$を求めよ．