次の各設問に答えよ．

(1)$\sqrt{10}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると，$b^2+2ab$の値は$[ア]$である．
(2)方程式$x^2-4x-8=4 |x-2|$を解くと，$x$の値は$[イ]$と$[ウエ]$である．
(3)$x=\log_{5}50+\log_{25}400-3$のとき，$\sqrt[3]{5^x}=[オ]$である．
(4)袋の中に赤玉$5$個と白玉$5$個が入っている．この袋の中から同時に玉を$3$個取り出すとき，赤玉$2$個，白玉$1$個が取り出される確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キク]}$である．

次の値を求めよ．

(1)$\sqrt{8} \div \sqrt[3]{16} \times \sqrt[6]{32}=[　]$
(2)$\displaystyle 2 \log_{10} \frac{1}{5}+\log_{10} 3-\log_{10} 12=[　]$

$\log_23$を$p$とおくと，$2^p=[　]$である．これを利用して$4^{-\log_23}$の値を求めると，$[　]$となる．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}} \div \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{2}} \times {2}^{\frac{5}{6}}=[　]$
(2)$(\log_2 27+5 \log_2 3) \cdot \log_3 2=[　]$
(3)$16<{4}^{x-1}<8 \cdot {2}^x$を満たす$x$の範囲は$[　]<x<[　]$である．
(4)$\log_{\frac{1}{3}}(x-2)+3>0$を満たす$x$の範囲は$2<x<[　]$である．

次の各問いに答えよ．

(1)$xy=100$，$x>y$をみたす自然数$x,\ y$の組み合わせは何通りあるか．
(2)次の値を求めよ．
\[ \sum_{k=1}^{10} (2k^2-3k+5) \]
(3)$k$が定数のとき，$y=x^2-2kx+2k^2+3k-2$は放物線を表す．定数$k$をいろいろ変化させるとき，放物線の頂点はどのような曲線上を動いていくか．
(4)半径が$2t+1$の球の体積を$V(t)$とする．$V(t)$を$t$で微分した導関数を求めよ．
(5)$\log_{10}x=0.8$，$\log_{10}y=0.3$のとき，$\log_{10}x^2y^3$の値を求めよ．
(6)$1$枚の硬貨を$5$回投げたとき，表が$3$回出る確率を求めよ．

対数関数
\[ f(x)=\log_2 x,\quad g(x)=\log_{\frac{1}{4}} x \]
に対し，$3$つの不等式
\[ x \geqq 1,\quad y \leqq f(x),\quad y \geqq g(x) \]
によって定められる$xy$平面上の領域を$D$とする．また，$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x,\ y$がともに整数であるものを``格子点''と呼ぶ．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)「$D$に属する格子点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x \leqq 8$であるもの」の総数を求めよ．
(3)「$D$に属する格子点$\mathrm{P}(x,\ y)$で$x \leqq 33,\ y \geqq 1$であるもの」の総数を求めよ．

方程式$(\log_3 x)^2+(p-2) \log_3 x+p=0$が，ともに$0$より大きく，かつ，$1$より小さい異なる$2$つの実数解をもつとき，実数$p$がとりうる値の範囲は$[$1$]$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$2$次関数$y=3x^2 (k \leqq x \leqq k+1)$の最大値と最小値の差を$M$とする．$\displaystyle -1 \leqq k \leqq -\frac{1}{2}$のとき，$M=2$となる$k$の値は$[　]$である．
また，$\displaystyle -\frac{1}{2} \leqq k \leqq 0$のとき，$M \leqq 2$である$k$の値の範囲は$[　]$である．
(2)等式$2 \log_2 (y-3x)=2+\log_2 x+\log_2 y$が成り立っているとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$の値は$[　]$である．また，このとき，$\displaystyle \log_2 \frac{xy-6x^2}{y^2-5xy-12x^2}$の値は$[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$t=\log_2 x$とおく．$x>8$のとき$t>[　]$である．$\displaystyle \log_2 \left( \log_4 \frac{x}{8} \right)=\log_4 \left( \log_8 \frac{x}{2} \right)$のとき，
\[ \log_2 \frac{t-[　]}{[　]}=\log_4 \frac{t-[　]}{[　]} \]
であり，$\displaystyle t=\frac{[　]+[　] \sqrt{[　]}}{[　]}$である．

(2)$1$辺の長さが$4$の正三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，$\displaystyle \frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\displaystyle \frac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=[　] \overrightarrow{b}-[　] \overrightarrow{c}$である．さらに$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{E}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{BE}}=-\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{b}+[　] \overrightarrow{c},\quad \mathrm{BE}=\frac{\sqrt{[　]}}{[　]} \]
である．

関数$\displaystyle f(x)=2 \log \frac{2+\sqrt{4-x^2}}{x}-\sqrt{4-x^2}$を考える．ただし，対数は自然対数である．以下の問いに答えなさい．

(1)関数$f(x)$の定義域は$0<x \leqq a$である．$a$の値を求めなさい．
(2)曲線$y=f(x)$の概形をかきなさい．なお，$y$の増減およびグラフの凹凸を調べた過程も記載しなさい．
(3)$0<x_0<a$とし，上問$(2)$の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$における$C$の接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めなさい．ただし，$a$は上問$(1)$で求めた値とする．