次の空欄を適当に補え．

(1)円$x^2+2x+y^2-6y-6=0$の半径は$[ア]$であり，中心の座標は$[イ]$である．

(2)$\displaystyle 2 \log_84+\log_3 \sqrt{15}-\frac{1}{\log_59}$を計算すると$[ウ]$である．

(3)$0 \leqq x<2\pi$とする．方程式$\cos 2x-5 \cos x+3=0$を解くと，$x=[エ],\ [オ]$である．
(4)$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$の$5$つの数字から同じ数字を繰り返し使わずに作れる$3$桁の偶数は全部で$[カ]$個ある．

次の空欄ア～スに当てはまる数を記入せよ．

(1)点$\mathrm{P}(1,\ 2)$と点$\mathrm{Q}(0,\ -1)$を通り，点$\mathrm{Q}$での接線の傾きが$2$である円の方程式は$(x-[ア])^2+(y-[イ])^2=[ウ]$である．
(2)$\overrightarrow{a}=(-2,\ 2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(-5,\ 4,\ 3)$のとき，$\overrightarrow{a}$と$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$のなす角度は$[エ]$である．
(3)$\sin x+\sqrt{3} \cos x-2=0 (0<x<\pi)$を解くと，$x=[オ]$である．
(4)数列$\displaystyle \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{4},\ \frac{1}{5},\ \cdots$に関して，$\displaystyle \frac{17}{30}$はこの数列の第$[カ]$項である．

(5)$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$に対して，$\omega^8$は$[キ]+[ク]i$となる．ただし$i$は虚数単位とし，キ，クは実数とする．
(6)$2$次方程式$x^2+ax+16=0$が整数解を持つような整数$a$のうち最大のものは$[ケ]$である．
(7)サイコロを$4$回振る．連続して偶数があらわれず，かつ連続して奇数もあらわれない確率は$[コ]$である．
(8)$x$が実数を動くとき，関数$f(x)=4^x+4^{-x}-5(2^x+2^{-x})+9$の最小値は，$[サ]$である．
(9)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+(3a+8)x+4$をみたすとき，定数$a$の値は$[シ]$である．
\mon $6^{30}$は$[ス]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

次の$[　]$をうめよ．

(1)実数$x,\ y,\ z$が$\displaystyle \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{4}=\frac{z+3x}{10}$を満たしている．$x^3+y^3+z^3=-36$が成り立つのは，
\[ \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{4}=\frac{z+3x}{10} \]
の値が$[$①$]$のときである．

(2)$\displaystyle x-y=\frac{\pi}{3}$であるとき，$\displaystyle \frac{\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y}$の値は$[$②$]$である．

(3)座標空間における$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 3,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$\ell$上の点$\mathrm{P}$において，原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$を結ぶ直線が直線$\ell$と垂直に交わるとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標は$[$③$]$である．
(4)連立方程式$\left\{ \begin{array}{l}
4(\log_2x)^2+2 \log_2y=1 \\
x^2y=2
\end{array} \right.$を解くと，$x=[$④$]$，$y=[$⑤$]$である．
(5)$2$桁の自然数を$N$とし，$N$の$1$の位と$10$の位の$2$つの数の和を$T$とする．$\displaystyle \frac{N}{T}$の最小値は$[$⑥$]$である．

次の空欄を適当に補え．

(1)不等式$|4x-3| \leqq -x+7$を解くと$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(3,\ 4)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 2)$に対して，$\overrightarrow{a}+k \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a}-k \overrightarrow{b}$が垂直であるとき，正の定数$k$の値は$[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)数列
\[ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}},\ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}},\ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}},\ \cdots,\ \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}},\ \cdots \]
の第$24$項までの和は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)方程式$\log_2x=2 \log_x2-1$を解くと，$x=[$(\mathrm{d])$}$である．ただし，$x \neq 2$とする．
(5)$1$個のさいころを$2$回投げるとき，$1$回目に出る目の数と$2$回目に出る目の数のうち小さくない方を$X$とする．$X=4$となる確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)関数$f(x)=x^2-x^3$は$x=[$(\mathrm{f])$}$で極大値$[$(\mathrm{g])$}$をとる．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)円$x^2+y^2=30$上の点$\mathrm{P}(5,\ \sqrt{5})$における接線の方程式は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{5x+3}{x^2+7x-18}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+9}$が$x$についての恒等式であるとき，$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)$\displaystyle \sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{4},\ \sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{4}$であるとき，$\sin \alpha \cos \beta$の値は$[$4$]$，$\cos \alpha \sin \beta$の値は$[$5$]$，$\sin^2 \alpha+\cos^2 \beta$の値は$[$6$]$である．
(4)$7$人が円形のテーブルに着席する方法は$[$7$]$通りある．
(5)さいころ$3$個を同時に投げるとき，そのうち同じ目が出るさいころが$2$個だけである確率は，$[$8$]$である．また，さいころ$4$個を同時に投げるとき，少なくとも$2$個のさいころが同じ目である確率は，$[$9$]$である．
(6)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{x}+2 \log_{10}y=3 \\
x-3 \log_{10}y^2=1 \phantom{e^{[　]}}
\end{array} \right. \]
を満たす$x,\ y$の値は$x=[$10$]$，$y=[$11$]$である．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)不等式$2x-5 \leqq -x+10$の解は$[$1$]$である．
(2)整式$f(x)$を$x+2$で割ると余りは$-3$，$x-3$で割ると余りは$1$，$x+4$で割ると余りは$2$である．このとき，整式$f(x)$を$(x+2)(x-3)$で割ると余りは$[$2$]$，$(x-3)(x+4)$で割ると余りは$[$3$]$である．
(3)$2$次不等式$\displaystyle x^2+3x-\frac{3}{4} \leqq 1$の解は$[$4$]$であり，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+3x-\displaystyle \frac{3}{4} \leqq 1 \\
-x^2+4>0 \phantom{\displaystyle \Biggl( \frac{1}{2} \Biggr)}
\end{array} \right. \]
の解は$[$5$]$である．
(4)放物線$y=-x^2+2x+1$を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{P}(2,\ 1)$における接線を$\ell$とすると，直線$\ell$の方程式は$[$6$]$である．また，直線$\ell$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた図形の面積は$[$7$]$である．
(5)$16$本のくじの中に，当たりくじが$4$本ある．このくじを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人がこの順に，$1$本ずつ$1$回だけ引き，引いたくじはもとに戻さないものとするとき，$\mathrm{A}$の当たる確率は$[$8$]$となり，$\mathrm{B}$の当たる確率は$[$9$]$となる．
(6)$x$についての不等式$\log_a(3x^2-x-2)>\log_a(x^2+5x-6)$の解は，$a>1$のとき$[$10$]$であり，$0<a<1$のとき$[$11$]$である．

以下の問に答えよ．

(1)次の値を求めよ．
\[ \begin{array}{lllll}
① \log_2 36-\log_2 9 & & ② \log_3 \sqrt{729} & & ③ 4^3 \times (2^3)^{-2} \\
④ \sqrt[3]{3} \div \sqrt{9} \times \sqrt[4]{27} & & ⑤ \sin 225^\circ & & ⑥ \tan 210^\circ \phantom{\frac{[　]}{1}}
\end{array} \]
(2)正の整数の集合$A,\ B$がある．ここで$A=\{2n \;|\; 10 \leqq 2n \leqq 200,\ n \text{は正の整数} \}$，$B=\{ m^2 \;|\; 10 \leqq m^2 \leqq 200,\ m \text{は正の整数} \}$である．

(i) 集合$A$の要素の個数を求めよ．
(ii) $n$を正の整数とするとき，和$S=1+2+\cdots +n$を求めよ．
(iii) 集合$A$の要素の総和を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 集合$B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeigo$] 集合$A \cap B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeiroku$] 集合$A \cup B$の要素の個数を求めよ．
\mon[$\tokeishichi$] 集合$A \cup B$から要素を$1$個取り出すとき，それが集合$A \cap B$の要素である確率を求めよ．

次の方程式の解を求めなさい．

(1)$\log_2(-x)+\log_2(-x-1)=1$
(2)$\log_2(-x)+\log_2(-x-1)=2$

$f(x)=x(1-\log x) (x>0)$とする．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．

(1)$xy$平面において，$y=f(x)$の増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$である．
(2)$xy$平面において，曲線$y=f(x)$が$x$軸の正の部分と交わる点における曲線の接線を$\ell$とする．直線$\ell$，直線$x=1$および曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の$[　]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．

(1)$\displaystyle -2<\log_8 x<\frac{5}{3}$を満たす$x$は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}<x<[　]$である．
(2)$x^3+ax^2+x+b=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，もう$1$つの解は$[　]$である．
(3)$7$個の数字$1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4$を$1$列に並べる．このとき，偶数番目がすべて奇数になるような並べ方は$[　]$通りある．
(4)$2$点$(2,\ 0,\ 1)$，$(1,\ 1,\ 2)$を通る直線がある．原点$\mathrm{O}$からこの直線に下ろした垂線の足を$\mathrm{A}$とする．点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$であり，原点から点$\mathrm{A}$までの距離は$\displaystyle \frac{\sqrt{[　]}}{[　]}$である．