曲線$y=\log_4x$上に，その$x$座標を，それぞれ，$\displaystyle\frac{1}{2}t,\ t,\ 2t (t>0)$とする$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をとる．このとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$の距離は$[ア]$であり，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積は$[イ]$である．空欄にあてはまる$t$の式を解答欄に記入せよ．

$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)関数
\[ f(x) = \int_0^1 |t^2-x^2| \, dt \]
の最小値は$[ア]$である．
(2)$n$を正の整数とする．$10^n$の正の約数すべての積は$[イ]$である．
(3)$\log_3n$が無理数となる$2011$以下の正の整数$n$は，全部で$[ウ]$個ある．
(4)関数$f(x)$は，次の$2$つの条件を満たしている．

(5)すべての実数$x$に対して，$f(3+x)=f(3-x)$
(6)$x$の値が，異なる$5$つの実数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$のときに限り$f(x)=0$となる．

このとき$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=[エ]$である．

以下の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\log_{10}(S_n+1)=n$が成り立っているとき，一般項は$a_n=[ア]\cdot[イ]^{n-[ウ]}$となる．
(2)方程式$\log_{x-3}(x^3-8x^2+20x-17)=3$の解は$x=[エ]$である．

$a>0,\ b>0$は次の式を満たす．
\[ \begin{array}{ll}
ab-b^2+5a-2b+15=0 & \cdots\cdots① \\
a^ab^b-a^bb^a-999a^ab^a=0 & \cdots\cdots②
\end{array} \]
次の問に答えよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771,\ \log_{10}7=0.8451$とする．

(1)$b-a$の値を求めよ．
(2)$a$および$b$の値を求めよ．
(3)$a^{50}$は何桁の整数か．
(4)$a^{50}$の最高位の数字を求めよ．

次の各設問の$[1]$から$[8]$までの空欄と$[　]$に適当な答えを入れよ．

(1)箱の中に，$1$と書かれたカードが$4$枚．$2$と書かれたカードが$3$枚，$3$と書かれたカードが$2$枚，$4$と書かれたカードが$1$枚ある．箱から同時に$3$枚のカードを取り出すとき，以下の問いに答えよ．

(i) $1$と書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる確率は$[1]$である．
(ii) $3$枚のカードに書かれた数字の和が$5$となる確率は$[2]$である．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において次が成り立つとき，以下の問いに答えよ．
\[ \sin A:\sin B:\sin C = 13:8:7 \]

(i) $\cos A=[3]$である．
(ii) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の直径が$13$であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[　]$である．ただし，分母を有理化して答えよ．

(3)$\triangle \mathrm{OAB}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が次の条件を満たすとき．点$\mathrm{P}$が動く部分の面積を求めよ．ただし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$1$とする．

(i) $\displaystyle \frac{1}{2} \leqq s+t \leqq 1,\ 0 \leqq s,\ 0 \leqq t$のとき$[4]$．
(ii) $t \leqq s,\ s \leqq 3,\ 0 \leqq t$のとき$[5]$．

(4)$\displaystyle 81^{-x}-\frac{1}{2}\cdot 3^{-2x+2}+2=0$を満たす最大の$x$は$\log_9 [6]$である．
(5)ある星$\mathrm{O}$を中心として同一方向に円軌道を描きながら回っている星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$がある．ただし，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$の円軌道は同一平面上にあると仮定する．星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{O}$との距離は$0.9$億$\mathrm{km}$で，星$\mathrm{B}$と星$\mathrm{O}$との距離は$1.5$億$\mathrm{km}$である．星$\mathrm{A}$は星$\mathrm{O}$の周りを一周するのに$240$日かかり，星$\mathrm{B}$は$360$日かかる．現在，星$\mathrm{A}$が星$\mathrm{B}$より回転方向に$90^{\circ}$進んだ位置にあるとするとき，星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離が最初に最大になるのは，今から$[7]$日後である．また，$60$日後の星$\mathrm{A}$と星$\mathrm{B}$との距離は$[8]$億$\mathrm{km}$である．

次の空欄$[ア]$から$[カ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．ただし$\log$は自然対数，また$e$はその底である．

(1)円柱$C$の底面の半径を$r$，高さを$h$とする．$C$の体積が$V$であるとき$C$の表面積$S$を$r$と$V$で表せば
\[ S=2 \pi r^{[ア]}+2Vr^{[イ]} \]
となる．したがって体積$V$を一定にしたまま$S$を最小にするためには
\[ r=\left( \frac{V}{[ウ]} \right)^{\frac{1}{3}} \]
とすればよい．このとき$r$と$h$の間には$r=[エ]h$の関係がある．
(2)次の問いに答えよ．

(i) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\log (n+5)}{\log (n+2)}=[オ]$
(ii) 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$をそれぞれ
\[ a_n=(n+5)^{-2n+1},\quad b_n=\frac{1}{n \log (n+2)} \]
で定める．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} (a_n)^{b_n}=[カ] \]
となる．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

(1)$z^2 = -2i$のとき，$z$を求めると，
\[ z= [ア]-[イ]i,\ z=-[ウ]+[エ]i \]
である．ただし，$i^2=-1$である．
(2)$2$次方程式$x^2-px+p-1=0$の$2$つの解の比が$1:3$であるとき，
\[ \text{定数}p\text{の値は}[ア],\ \text{または}\frac{[イ]}{[ウ]}\text{である} \]
(3)不等式$\log_{0.5}(5-x)<2\log_{0.5}(x-3)$の解は，
\[ [ア]<x<[イ] \]
である．
(4)放物線$y=ax^2 (a>0)$と直線$y=bx (b>0)$とで囲まれた部分の面積を$S_1$とし，交点をそれぞれ$\mathrm{O}$（原点），$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$から$x$軸に垂線$\mathrm{AH}$を下ろし，$\triangle \mathrm{AOH}$の面積を$S_2$とすると，
\[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(5)事象$\mathrm{A}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{4}{5}$，事象$\mathrm{B}$の起こる確率が$\displaystyle\frac{3}{5}$，事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$のどちらか一方だけが起こる確率が$\displaystyle\frac{2}{5}$であるとする．このとき，事象$\mathrm{A}$と事象$\mathrm{B}$がともに起こる確率は$\displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{CD}$と$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{O}$とするとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \frac{[ア]}{[イ]}\overrightarrow{\mathrm{CA}} + \frac{[ウ]}{[エ]}\overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
である．

$\displaystyle \left( \frac{3}{5} \right)^{50}$を小数で表すとき，小数第何位に初めて$0$でない数字が現れるか．ただし，$\log_{10}2 = 0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

$x,\ y$は，$\displaystyle 0<x<\frac{1}{3}$，$\displaystyle 0<y<\frac{1}{3}$を満たす実数とする．$x=b$，$y=c$のとき，
\[ \begin{array}{l}
\log_xy+\log_yx=2 \\
2 \log_x \sin \{ \pi (x+y) \}=\log_x \sin (\pi y)+\log_y \cos (\pi x)
\end{array} \]
を満たす．$12b$の値を求めよ．

$b$を$1$でない正の実数とし，$x$の方程式
\[ 6 \log_bx+1=\frac{1}{\log_bx} \]
は$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつ．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\log_bx$の値を求めよ．
(2)$x$を$b$を用いて表せ．
(3)$\alpha\beta=4$となるような$b$の値を求めよ．