曲線$y=\log x$の接線は常にこの曲線の上側にあることを利用して，次の問いに答えよ．以下，$k$は自然数とする．

(1)点$\mathrm{A}_k(k,\ 0)$を通り$x$軸に垂直な直線と曲線$y=\log x$との交点を${\mathrm{A}_k}^\prime$とし，${\mathrm{A}_k}^\prime$におけるこの曲線の接線を$\ell_k$とする．また，$k \geqq 2$のとき，$\displaystyle \mathrm{B}_k \left( k-\frac{1}{2},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{C}_k \left( k+\frac{1}{2},\ 0 \right)$を通り$x$軸に垂直な直線と接線$\ell_k$との交点をそれぞれ${\mathrm{B}_k}^\prime$，${\mathrm{C}_k}^\prime$とする．四角形$\mathrm{B}_k \mathrm{C}_k {\mathrm{C}_k}^\prime {\mathrm{B}_k}^\prime$の面積を求めよ．
(2)次の2つの値の大小を比較せよ．

(i) $\log k$と$\displaystyle \int_{k-\frac{1}{2}}^{k+\frac{1}{2}} \log x \, dx \quad$（ただし，$k \geqq 2$）
(ii) $\displaystyle \frac{\log k+\log (k+1)}{2}$と$\displaystyle \int_k^{k+1} \log x \, dx \quad$（ただし，$k \geqq 1$）

(3)$\displaystyle a_n=\log (n!)-\frac{1}{2}\log n$とおくと，2以上の自然数$n$について，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \int_{\frac{3}{2}}^n \log x \, dx<a_n<\int_1^n \log x \, dx \]
(4)2以上の自然数$n$について
\[ \left\{
\begin{array}{l}
U_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+\displaystyle\frac{3}{2} \left( 1-\log \displaystyle\frac{3}{2} \right) \\
V_n=\left( n+\displaystyle\frac{1}{2} \right) \log n-n+1
\end{array}
\right. \]
とおくとき，次の不等式を示せ．
\[ U_n<\log (n!)<V_n \]

曲線$C_1:y=\sqrt{x} |\log x|$と曲線$C_2:y=\sqrt{x}$がある．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．

(1)関数$f(x)=\sqrt{x} \log x$の増減，極値を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +0}\sqrt{x} \log x=0$であることを用いてよい．
(2)曲線$C_1,\ C_2$は$x>0$において$2$つの交点をもつ．それらの座標を求めよ．
(3)(2)で求めた交点の$x$座標を$a,\ b \ (a<b)$とする．曲線$C_1,\ C_2$の$a \leqq x \leqq b$の部分が囲む図形の面積$S$を求めよ．

$n$を$2$以上の自然数とし，$x$の関数$f(x),\ g(x)$を
\[ f(x)=x^n \log 2x,\quad g(x)=\log 2x \]
とする．ただし，対数は自然対数とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$の変曲点を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=x^2-3x+7-3 |x-2|$のグラフをかけ．
(2)方程式$\displaystyle \log_5x-\frac{4}{\log_5x}+\frac{\log_5 x^3}{\log_5 x}=0$を解け．
(3)$a>0$とする．関数$f(t)=t(a-t^2) \ (0<t<\sqrt{a})$の最大値が$2$であるとき，$a$の値を求めよ．
(4)正四面体の各面に$0,\ 1,\ 2,\ 3$の数字が$1$つずつ書かれているさいころがある．このさいころを投げたとき，各面が底面になる確率は等しいものとする．このようなさいころを$2$つ同時に投げ，おのおののさいころの底面に書かれている数の積を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．
(5)$2$つの曲線$y=x^2$，$y=-x^2+2x+1$で囲まれる図形の面積を求めよ．

関数$f(x)=-x \log x-(1-x) \log (1-x) \ (0<x<1)$について次の問いに答えよ．ただし，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$を使ってよい．

(1)$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x),\ \lim_{x \to 1-0}f(x)$を調べ，そのグラフをかけ．
(2)定積分$\displaystyle S(p)=\int_p^{1-p}f(x) \, dx$を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<p<\frac{1}{2}$とする．
(3)極限$\displaystyle \lim_{p \to +0}S(p)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)実数$x$に対して$[x]$を$m \leqq x<m+1$を満たす整数$m$とする．このとき
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{[10^{2n} \pi]}{10^{2n}} \]
を求めよ．
(2)$\displaystyle y=\log \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}$を微分せよ．
(3)$0<x<\pi$において$\sin x+\sin 2x=0$を満たす$x$を求めよ．また，定積分$\displaystyle \int_0^\pi |\sin x+\sin 2x| \, dx$を求めよ．
(4)$A$を$2$次正方行列とする．$A^2-2011A+E=O$ならば$A$は逆行列を持つことを示せ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

実数全体で定義された関数$F(x)$が次の条件$①$と$②$の両方を満たすとき「$F(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つ」ということにする．

$①$ すべての実数$x$について$F(x)>0$である．
$②$ $F(x)$は何度でも微分が可能で$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\log F(x)=\frac{1}{\{F(x)\}^2}$を満たす．


(1)$y=f(x)$が性質$(\mathrm{P})$を持つとき$y^{\prime\prime}y-(y^\prime)^2=1$，$y^{\prime\prime\prime}y-y^{\prime\prime}y^\prime=0$となること，および$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}$は正の定数であることを示せ．
(2)$y=f(x)$は性質$(\mathrm{P})$を持つとする．$\displaystyle \frac{y^{\prime\prime}}{y}=k^2$（$k$は正の定数）とおくとき，$k^2y^2-(y^\prime)^2=1$であることを示し，さらに$ky-y^\prime>0$および$ky+y^\prime>0$が成り立つことを示せ．
(3)$c$を実数とする．(2)のとき，関数$\displaystyle kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime$も性質$(\mathrm{P})$を持つことを証明せよ．ただし$①$を示すために
\[ kf(c)y+\frac{1}{k}f^\prime(c)y^\prime=f(c)(ky \mp y^\prime) \pm \frac{1}{k}y^\prime (kf(c) \pm f^\prime(c)) \quad (\text{複号同順}) \]
を利用してもよい．

関数$f(x)=-x \log x-(1-x) \log (1-x) \ (0<x<1)$について次の問いに答えよ．ただし，必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to +0}x \log x=0$を使ってよい．

(1)$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x),\ \lim_{x \to 1-0}f(x)$を調べ，そのグラフをかけ．
(2)定積分$\displaystyle S(p)=\int_p^{1-p}f(x) \, dx$を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<p<\frac{1}{2}$とする．
(3)極限$\displaystyle \lim_{p \to +0}S(p)$を求めよ．

初項$1$，公差$2$の等差数列$\{a_n\}$に対して，数列$\{b_n\},\ \{c_n\},\ \{d_n\}$をそれぞれ
\[ b_n = \frac{2n+1}{a_n}, \quad c_n= \log_3 b_n, \quad d_n = \sum_{k=1}^{n}c_k \]
で定める．このとき，
\[ d_n = \log_3 \left([カ]n+[キ]\right) \]
となる．さらに，$d_n$が整数となるような$n$を小さい順に$m$個並べて，その和を求めると，
\[ \frac{[ク]^{m+1}+[ケ]m+[コ]}{4}\]
となる．

$f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を次の点に注意して描け：$f(x)$の増減，グラフの凹凸，$x$→$+0$，$x$→$\infty$のときの$f(x)$の挙動．
(2)$n$を自然数とする．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して$x$が$\displaystyle e^{\frac{k-1}{n}} \leqq x \leqq e^{\frac{k}{n}}$を動くときの$f(x)$の最大値を$M_k$，最小値を$m_k$とし，
\[ A_n = \sum_{k=1}^n M_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \]
\[ B_n = \sum_{k=1}^n m_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \]
とおく．$A_n,\ B_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$および$\displaystyle\lim_{n \to \infty} B_n$求めよ．
(4)各$n$に対して$\displaystyle B_n < \int_1^e f(x)\, dx < A_n$であることを示せ．