以下の各問に答えよ．

(1)次の不等式を解け．$2 \log_{\frac{1}{4}} (4x+1) \geqq 1+\log_{\frac{1}{2}} (11-x)$
(2)以下の問に答えよ．

(i) 次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．$\displaystyle f(x)=x^2-2x+3 \int_0^1 f(t) \, dt$
(ii) $(ⅰ)$で求めた$f(x)$に点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -2 \right)$から引いた接線の方程式と，接点の座標を求めよ．
(iii) $(ⅰ)$，$(ⅱ)$で求めた関数$f(x)$と$2$つの接線で囲まれた図形の面積を求めよ．

以下の各問いに答えよ．

(1)$e$は自然対数の底とし，$a$は正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(i) $x>0$で定義された関数$f(x)=a \log x-x$の増減を調べ，極値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^a e^{-2x}=0$を示せ．
(iii) 極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \int_0^x t^2e^{-2t} \, dt$を求めよ．

(2)$0<t<\pi$とする．曲線$\displaystyle C:y=\sin \frac{x}{2} (0 \leqq x \leqq \pi)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \sin \frac{t}{2} \right)$における$C$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{P}$と原点を通る直線を$\ell_2$とする．以下の問いに答えよ．

(i) 接線$\ell_1$と$x$軸との交点の$x$座標を$t$を用いて表せ．
(ii) $j=1,\ 2$について，直線$\ell_j$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた三角形を$x$軸のまわりに回転させてできた円錐の体積を$V_j$とする．また，曲線$C$，$x$軸および直線$x=t$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転させてできた回転体の体積を$V$とする．$V_1$，$V_2$および$V$を$t$を用いて表せ．
(iii) 極限値$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta-\sin \theta}{\theta^3}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}=1$は利用してよい．

以下の問いの空欄$[サ]$～$[ナ]$に適する数値，式を記せ．

(1)$2$次方程式$2x^2-5x+4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，
\[ \alpha^2+\beta^2=[サ],\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=[シ],\quad \alpha^3+\beta^3=[ス] \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$が円$x^2+y^2=4$の周上を動くとき，点$\mathrm{A}(8,\ 0)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分$\mathrm{AP}$を$\mathrm{AQ}:\mathrm{QP}=2:3$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡は中心$[セ]$，半径$[ソ]$の円である．
(3)$0 \leqq \theta<2\pi$とする．方程式$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta+1=0$を解くと$\theta=[タ],\ [チ]$である．
(4)$4^{45}$は$[ツ]$桁の数である．また，$\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^{17}$は，小数第$[テ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(5)$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[ト]$である．また，数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和は，$S_n=[ナ]$である．

$0$以上の整数を$10$進法で表すとき，次の問いに答えよ．ただし，$0$は$0$桁の数と考えることにする．また$n$は正の整数とする．

(1)各桁の数が$1$または$2$である$n$桁の整数を考える．それらすべての整数の総和を$T_n$とする．$T_n$を$n$を用いて表せ．
(2)各桁の数が$0,\ 1,\ 2$のいずれかである$n$桁以下の整数を考える．それらすべての総和$S_n$をとする．$S_n$が$T_n$の$15$倍以上になるのは，$n$がいくつ以上のときか．必要があれは，$0.301 < \log_{10}2< 0.302$および$0.477<\log_{10}3<0.478$を用いてもよい．

次の問いに答えよ．

(1)$g,\ m,\ n$を実数とし，$\displaystyle g= 2^{\frac{702+m}{1200}},\quad \frac{1}{2^6}g^{12}=2^{\frac{1200+n}{1200}}$とする．

\mon[\maru{1}] $g^4=5$となる$m$を求めよ．ただし，$\log_2 5 = 2.32$として計算せよ．
\mon[\maru{2}] $m$を用いて$n$を表せ．

(2)定積分$\displaystyle \int_0^{1200} 2^{\frac{1200+x}{1200}}\, dx$を求めよ．

$n$を$2$以上の自然数として，
\[ S_n= \sum_{k=n}^{n^3-1}\frac{1}{k\log k} \]
とおく．以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_n^{n^3} \frac{dx}{x\log x}$を求めよ．
(2)$k$を$2$以上の自然数とするとき，
\[ \frac{1}{(k+1)\log (k+1)} < \int_k^{k+1} \frac{dx}{x \log x} < \frac{1}{k\log k} \]
を示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$の値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)$x \geqq 1$において，$x > 2\log x$が成り立つことを示せ．ただし，$e$を自然対数の底とするとき，$2.7<e<2.8$であることを用いてよい．
(2)自然数$n$に対して，
\[ (2n \log n)^n < e^{2n\log n} \]
が成り立つことを示せ．

数列$\{ a_n \}$を$a_1 = 2,\ a_{n+1}=a_n 2^{6n^2} \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．次の問いに答えよ．

(1)$b_n = \log_2 a_n$とし，$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$a_{10}$の桁数を求めよ．ただし$\log_{10}2 = 0.3010$とする．

数列$\{ a_n \}$を$a_1 = 2,\ a_{n+1}=a_n 2^{6n^2} \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．次の問いに答えよ．

(1)$b_n = \log_2 a_n$とし，$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$a_{10}$の桁数を求めよ．ただし$\log_{10}2 = 0.3010$とする．

$L$を正定数とする．座標平面の$x$軸上の正の部分にある点P$(t,\ 0)$に対し，原点Oを中心とし点Pを通る円周上を，Pから出発して反時計回りに道のり$L$だけ進んだ点をQ$(u(t),\ v(t))$と表す．

(1)$u(t),\ v(t)$を求めよ．
(2)$0<a<1$の範囲の実数$a$に対し，積分
\[ f(a) = \int_a^1 \sqrt{\{u^{\, \prime}(t)\}^2 + \{v^{\, \prime}(t)\}^2 } \, dt \]
を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{a \to +0}\frac{f(a)}{\log a}$を求めよ．