次の問いに答えよ．

(1)次の不定積分を求めよ．\\
$\displaystyle (\text{i}) \int \frac{\log x}{\sqrt[3]{x}} \, dx \qquad (\text{ii}) \int \sin^9 x \cos x \, dx \qquad (\text{iii}) \int \sin^9 x \cos^3 x \, dx$
(2)次の極限値を求めよ．$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$
(3)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}=0$を示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a$と$b$を正の実数とするとき，不等式$a+b \geqq 2\sqrt{ab}$が成り立つことを示せ．また，等号が成り立つのは，どのようなときか．
(2)$p$と$q$を$1$より大きい実数とするとき，$\log_pq+4\log_qp$の最小値を求めよ．また，その最小値をとるのは，$p$と$q$がどのような関係をみたすときか．

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \, dx=[　]$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x \, dx=[　]$

(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 3)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ -1)$に対して，$|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$は$t=[　]$のとき，最小値$[　]$をとる．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$において$\sin 2\theta-2 \cos \theta=0$のとき，$\theta=[　]$である．
(4)不等式$\log_3(2x-3)<2$をみたす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(5)$4$つの袋があり，各袋に赤，青，黄の玉が$1$つずつ入っている．各袋から$1$つずつ玉を取り出すとき，取り出した$4$つの玉がすべて同じ色である確率は$[　]$であり，$2$種類の色である確率は$[　]$である．

曲線$C:y=\log x-1$の接線で原点を通るものを$\ell$とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)$C$と$x$軸の共有点の座標は$[　]$である．
(2)$C$と$\ell$の接点の座標は$[　]$である．
(3)$C$と$x$軸および$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とすると，$S=[　]$である．

定数$a,\ b,\ c$に対して，$y=2x^{-a}$，$z=cx^{ab}$とおくとき，次の問いに答えよ．ただし，$1 \leqq x \leqq 2$，$a>0$，$c>0$とする．

(1)$z$を$y,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$s=\log_2y$，$t=\log_2z$とおく．定数$A$と$B$を用いて$t=As+B$と表したとき，$A$を$b$を用いて表せ．また，$B$を$b$と$c$を用いて表せ．
(3)$A=-3$，$B=8$のとき，$b$と$c$の値を求めよ．
(4)$A=-3$，$B=8$とする．$\displaystyle w=\frac{y}{z}$の$1 \leqq x \leqq 2$における最小値が$\displaystyle \frac{1}{32}$となるとき，$a$の値を求めよ．

曲線$C:y=(\log x-2 \log 2) \log x$について次の問いに答えよ．

(1)関数の増減と凹凸を調べ，曲線$C$の概形をかけ．曲線$C$が$x$軸および$y$軸と共有点がある場合にはその点の座標を明記すること．また，極値を表す点や変曲点がある場合にはその座標を明記すること．
(2)変曲点における接線と法線の方程式を求めよ．また，接線と$x$軸との交点$\mathrm{P}$および法線と$x$軸との交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，変曲点から$x$軸に下ろした垂線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{QR}$の長さの積を求めよ．
(4)曲線$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

直線$\ell:y=-2x \log_2 a$と放物線$C:y=x^2+b^2$がある．ただし$a>0$とする．次の問いに答えよ．

(1)$b=\log_35$とする．$C$と$\ell$が接するとき，$a$の値を求め，$a<3$であることを示せ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，$a,\ b$の満たす条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．

実数$t$を$0<t \leqq 1$とし，図$1$の斜線部分の図形$A$の面積を$S(t)$で表す．次の問に答えなさい．

(1)$S(t)$を$t$の式で表しなさい．
(2)図$2$，図$3$を参考にして，不等式
\[ (1-\sqrt{t})^2 \leqq S(1)-S(t) \leqq (1-t)^2 \]
が成り立つことを示しなさい．
(3)(2)の不等式を参考にして，不等式
\[ 2(t-\sqrt{t}) \leqq t \log t \leqq t(t-1) \]
が成り立つことを示しなさい．
（図は省略）

$f(x)$を区間$[0,\ \infty )$上の連続関数とする．この区間上の$f(x)$の積分を
\[ \int_0^\infty f(x) \, dx=\lim_{R \to \infty} \int_0^R f(x) \, dx \]
とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$を正の定数として，積分$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+\alpha x)(1+\beta x)} \, dx$を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$を相異なる正の定数として，積分$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} \, dx$を（結果の表示を簡潔にするため）
\[ \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} \, dx=A \log a+B \log b+C \log c \]
とおく．$A,\ B,\ C$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a$を正の定数として，関数$f(x)$を$f(x)=\log (\sqrt{a^2+x^2}-x)$とおく．$f(x)$を微分して，多項式
\[ f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3 \]
を求めよ．
(2)座標平面において，曲線$\displaystyle C:y=\sin x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$上の点$\mathrm{P}(a,\ \sin a)$における$C$の法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$を直径とする円が，$x$軸と交わる$\mathrm{Q}$以外の点を$\mathrm{R}$とする．このとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S(a)$を求めよ．次に，$a$が動くとき，$S(a)$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(3)数列$\{a_n\}$
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{1},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1},\ \cdots \]
を次のような群に分け，第$m$群には$m$個の数が入るようにする．
$\displaystyle \sitabrace{\frac{1}{1}}_{第1群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{2},\ \frac{2}{1}}_{第2群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1}}_{第3群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1}}_{第4群} \ \bigg| \ ,\ \cdots ,\ $

$\displaystyle \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{m},\ \frac{2}{m-1},\ \cdots ,\ \frac{m-1}{2},\ \frac{m}{1}}_{第m群} \ \bigg| \ ,\ \cdots$
このとき，数列$\{a_n\}$において，$\displaystyle \frac{q}{p}$は第何項か．ただし，$\displaystyle \frac{q}{p}$は，例えば$\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$のように，約分しないものとする．次に，第$100$項$a_{100}$を求めよ．
(4)$2$次の正方行列$A$が
\[ A \left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right),\quad A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right) \]
をみたすとする．このとき，自然数$n$に対して$A^n \left( \begin{array}{c}
5 \\
3
\end{array} \right)$を求めよ．
(5)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の長さが$1$，$\angle \mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{\pi}{5}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の二等分線を引き，対応する辺との交点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，三角関数の値
\[ \sin \left( \frac{\pi}{10} \right) \]
を求めよ．
（図は省略）