$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$を用いて，次の問いに答えよ．

(1)$\log_{10}9$と$\log_{10}12$の値を求めよ．
(2)$n \leqq 10^{0.955}<n+1$を満たす整数$n$の値を求めよ．
(3)$12^{50}$の最高位の数字を求めよ．

次の各設問に答えよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx-11$が頂点$(2,\ -3)$をもつとすると，$a=[アイ]$，$b=[ウ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}=\frac{1}{18}$を満たす$x$の値は$[エオ]$，$[カ]$である．
(3)$\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{27}+\log_{27}9 \sqrt{3}$を計算すると，$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]}$である．
(4)$\displaystyle \int_{-3}^1 |(x+1)(x-3)| \, dx$の値は$[コサ]$である．

次の$[　]$をうめよ．

(1)どのような実数$x$に対しても，不等式$x^2+ax+a>-2x^2+x+1$が成り立つ定数$a$の値の範囲は$[　]$である．
また，$2$つの放物線$y=x^2+ax+a$と$y=-2x^2+x+1$が点$\mathrm{A}$を共有し，その点で共通な接線をもつとき，点$\mathrm{A}$の座標は$[　]$である．
(2)$a=3^{96}$のとき，$\sqrt[3]{a}$は$[　]$桁の整数である．また，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}$は，小数第$[　]$位に初めて$0$でない数が現れる．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin x+\cos x+\sin 2x=-\frac{1}{2}$の解は，$x=[　]$である．また，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \sin y+\sqrt{3} \cos y+4 \cos^2 \left( y+\frac{\pi}{3} \right)=4$の解は，$y=[　]$である．

次の各設問に答えよ．

(1)空間内に点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 4)$がある．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が定める平面上に原点$\mathrm{O}$から垂線を下ろし，この平面との交点を$\mathrm{P}$とする．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=a \overrightarrow{\mathrm{OA}}+b \overrightarrow{\mathrm{OB}}+c \overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (a,\ b,\ c \text{は実数}) \]
とすると$a+b+c=[ア]$となる．また

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=[イウ] a+[エ] b=[オ]$

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[カキ] a+[クケ] c=[コ]$

となる．よって，点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[サ]}{[シ]},\ \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right)$となる．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，出た目の積が偶数になる確率は$\displaystyle \frac{[チツ]}{[テト]}$である．また，出た目の積が偶数になる確率が$0.994$以上になるには，同時に投げるさいころの数は最低$[ナ]$個必要である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{20} \div (2^4 \cdot 5)^{-\frac{1}{2}}=[][]$
(2)$5 \log_64 \cdot \log_236=[][]$
(3)方程式$\log_2x+\log_2(x-12)=6$の解は$x=[][]$である．
(4)不等式$\displaystyle (\sqrt{5})^x> \left( \frac{1}{25} \right)^{x-5}$を満たす$x$の範囲は$x>[][]$である．
(5)$\displaystyle \log_a 32=5,\ 3^{a-2b}=\frac{1}{3^4}$のとき，$ab=[][]$である．

$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x} (x>0)$とする．曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$と点$\mathrm{Q}(b,\ f(b))$における曲線$C$の$2$つの接線が共に原点を通るとき，次の問いに答えよ．ただし，$a<b$で，対数は自然対数とする．

(1)$a,\ b$の値と点$\mathrm{Q}(b,\ f(b))$における曲線$C$の法線の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における$C$の接線，点$\mathrm{Q}(b,\ f(b))$における$C$の法線，および曲線$C$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)多項式$f(x)$と$g(x)$の間に

$\displaystyle f(x)=2x+\int_0^1 g(t) \, dt$
$\displaystyle g(x)=\int_0^x f(t) \, dt+\int_0^1 f(t) \, dt$

という関係が成り立つとき，$f(x)$と$g(x)$を求めよ．
(2)関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$を微分せよ．
(3)$1$から$6$までの番号が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードを横一列に並べる．$1$が書かれたカードと$2$が書かれたカードの間に他のカードが$1$枚ある並べ方は何通りあるか．

次の各問に答えよ．

(1)正の数$a,\ b$が$a^3+b^3=5$を満たすとき，$a+b$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$x>0,\ x \neq 1$のとき，$\displaystyle 1+\frac{1}{\log_2x}-\frac{3}{\log_3x}<0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が楕円$x^2+5(y-1)^2=5$上を動くとき，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分の長さの最大値を求めよ．
(4)$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & -5 \\
2 & -3
\end{array} \right),\ I=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．$(I+A)^{2012}=mI+nA$となる実数$m,\ n$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_{10}3=a$，$\log_{10}5=b$のとき，$\log_{\frac{3}{2}}48$を$a,\ b$で表すと$\displaystyle \frac{a-[　]b+[　]}{a+[　]b-[　]}$である．
(2)関数$\displaystyle y=12 \sin \theta+5 \cos \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について，$y$の取り得る値の範囲は$[　] \leqq y \leqq [　]$である．
(3)ある$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$4$，$y$軸方向に$-6$平行移動すると，$y=-x^2+6x+6$と一致する．もとの$2$次関数は$y=-x^2-[　]x+[　]$である．
(4)赤玉が$5$個，青玉が$4$個入っている袋から$3$個を取り出すとき，少なくとも$1$個が青玉である確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，それぞれの辺の長さを$a=3$，$b=\sqrt{7}$，$c=2$とするとき，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AH}$の長さは$\sqrt{[　]}$である．
(6)$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$が定める平面に原点$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ．

(1)$10 \%$の食塩水と$15 \%$の食塩水を混ぜて$12 \%$以上$13 \%$以下の食塩水$1000 \mathrm{g}$を作るには，$10 \%$の食塩水を$[　] \mathrm{g}$以上$[　] \mathrm{g}$以下にすればよい．
(2)$20$から$200$までの整数について$6$で割って$3$余る数の総和を求めると$[　]$である．
(3)$x^2-2xy+y^2+3x-3y+2$を因数分解すると$[　]$である．
(4)$m<\log_4 25<m+1$を満たす整数$m$を求めると$m=[　]$である．
(5)$2^{3-\log_2 x}-2^{\frac{2}{\log_x 4}}+2=0$を$x$について解くと$x=[　]$である．