$\log x$は自然対数，$e$は自然対数の底を表す．

(1)$a,\ b$は$e^{-1}<a<1,\ b>0$を満たす実数とする．曲線$C:y=\log x$と直線$\ell:y=ax+b$とが接しているとすると，
\[ b=[モ] \log a+[ヤ] \]
が成り立つ．このとき，曲線$C$と$3$つの直線$\ell$，$x=1$，$x=e$とで囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$a$が$e^{-1}<a<1$の範囲を動くときの$S(a)$の最小値は
\[ \left( [ユ]e+[ヨ] \right) \log \left( \frac{e+[ラ]}{[リ]} \right) +[ル] \]
で与えられる．
(2)$k$を正の定数とし，$e^{-k}<t<1$である$t$に対して，
\[ f(t)=\int_0^k |e^{-x|-t} \, dx \]
とおく．$t$が$e^{-k}<t<1$の範囲を動くときの関数$f(t)$の最小値を$M(k)$とおくと，
\[ M(k)=\left( [レ]+e^P \right)^2,\quad \text{ただし} P=\frac{[ロ]}{[ワ]}k \]
となる．このとき
\[ \lim_{k \to +0} \frac{M(k)}{k^2}=\frac{[ヲ]}{[ン]} \]
である．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき，方程式
\[ \log_{\frac{1}{2}} \cos \theta-\log_{\frac{1}{4}} \sin \theta-\frac{3}{2} \log_2 \tan \theta=\frac{1}{2} (1-\log_23) \]
を満たす$\theta$の値を求めよ．

次の不等式を解け．
\[ \log_2(x+6)+\log_2(x+8)<1+\log_23+\log_2(x+4)^2 \]

$xy$平面上で次の不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \log_2(2y+1)-1 \leqq \log_2x \leqq 2+\log_2y \leqq \log_2x+\log_2(4-2x) \]

(1)$D$は次の不等式
\[ x \leqq [ケ]y \leqq [コ]x^2+[サ]x \]
および
\[ y \leqq [シ]x+\frac{[ス]}{[セ]} \]
により定まる領域である．

(2)$D$の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．

(3)$s<1$とし，点$(x,\ y)$が$D$上を動くとき，$y-sx$の最大値を$f(s)$とする．

(i) $[チ] \leqq s<1$のとき，$\displaystyle f(s)=[ツ]s+\frac{[テ]}{[ト]}$
(ii) $\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]} \leqq s<[チ]$のとき，
\[ f(s)=\frac{[ヌ]}{[ネ]}s^2+[ノ]s+\frac{[ハ]}{[ヒ]} \]
(iii) $\displaystyle s<\frac{[ナ]}{[ニ]}$のとき，$\displaystyle f(s)=\frac{[フ]}{[ヘ]}s+\frac{[ホ]}{[マ]}$である．

$\mathrm{O}$を$xy$平面の原点とする．以下の設問に答えよ．

(1)$xy$平面上の点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$と点$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$を考える．
\[ a_1>0,\quad a_2>0,\quad b_1>0,\quad b_2<0 \]
であるとき，$\triangle \mathrm{AOB}$の面積を$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$を用いて表せ．
(2)対数関数
\[ f(x)=\log_2x,\quad g(x)=\log_{\frac{1}{4}}x \]
に対し，$xy$平面上の曲線
\[ \begin{array}{ll}
C_1:y=f(x) & (x \geqq 1) \\
C_2:y=g(x) & (x \geqq 1)
\end{array} \]
を考える．$C_1$上に点$\mathrm{S}(s,\ f(s))$，$C_2$上に点$\mathrm{T}(t,\ g(t))$をとる．ただし，$s \cdot t=8$とする．このとき$s$を用いて，$\triangle \mathrm{SOT}$の面積$H(s)$を表せ．
(3)$(2)$の$H(s)$に対し，$H(3)$と$H(4)$の大小を比較せよ．

次の各問いに答えよ．

(1)次の$3$次式を$1$次式の積に因数分解せよ．
\[ x^3-2x^2-5x+6 \]
(2)$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-2kx+3k-2=0 \]
が，相異なる$2$つの実数解を持つような，定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$x$の変域が$-1 \leqq x \leqq 2$であるときの$2$次関数
\[ y=2x^2-3x+1 \]
の最大値と最小値を求めよ．
(4)$5$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を一回ずつ使って$4$桁の数を作る．このとき$3215$以上の数はいくつあるか求めよ．
(5)$2^{1000}$は何桁の数になるか．ただし，$\log_{10}2=0.30103$とする．
(6)図のような三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=5:6:4$である．このとき$\sin A:\sin B:\sin C$を整数比で表せ．

（図は省略）

$\displaystyle f(x)=\sin \left( \log \frac{1}{x} \right) (0<x \leqq 1)$とおく．$f(x)=0$となるすべての$x$を，大きい順に$a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a_n (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を求めよ．
(2)正の定数$a,\ b$に対し
\[ \frac{d}{dx} (Ae^{-ax} \cos bx+Be^{-ax} \sin bx)=e^{-ax} \cos bx \]
を満たす定数$A,\ B$を求め，不定積分
\[ \int e^{-ax} \cos bx \, dx \]
を求めよ．
(3)$\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} \{f(x)\}^2 \, dx (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を，$\displaystyle t=\log \frac{1}{x}$とおくことにより求めよ．
(4)$(3)$で得られた数列$\{b_n\}$に対し，無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty b_n$の和を求めよ．

関数$\displaystyle y=3 \log_8x+4 \log_4 4x-(\log_2x)^2 \left( \frac{1}{2} \leqq x \leqq 32 \right)$について考える．$t=\log_2x$とおく．

(1)$t$のとり得る値の範囲は$[クケ] \leqq t \leqq [コ]$である．
(2)$y=-t^2+[サ]t+[シ]$である．
(3)$y$は$x=[ス] \sqrt{[セ]}$で最大値$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チ]}$をとり，$x=[ツテ]$で最小値$[トナ]$をとる．

次の$(1)$と$(2)$に答えなさい．

(1)$k,\ l,\ m,\ n$は自然数とする．条件
\[ k \cdot l \cdot m \cdot n=k+l+m+n,\quad k \leqq l \leqq m \leqq n \]
を満たす組$(k,\ l,\ m,\ n)$をすべて求めなさい．
(2)次の不等式を解きなさい．
\[ \log_2x-\log_{\frac{1}{2}}(4-x)<1 \]

関数$\displaystyle f(x)=\log_2 8x \cdot \log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{x}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$t=\log_2x$とするとき，$f(x)$を$t$の関数$g(t)$として表せ．
(2)$(1)$で求めた関数を$s=g(t)$とするとき，この関数のグラフを座標平面上にえがけ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq x \leqq 16$であるとき，$f(x)$の最大値，最小値とそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．