曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における接線を$\ell$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
以下では，曲線$y=ax^2-b$は点$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$において$\ell$に接しているとする．ただし，$a$と$b$は正の数である．曲線$y=ax^2-b$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S$とする．
(2)$S$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$を$t$で表し，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．
(4)$S$の最大値を求めよ．なお，$S$がその最大値をとる$t$の値も求めること．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数を記入せよ．

(1)$20^{10}$の正の約数は全部で$[ア]$個ある．
(2)$2<\log_a 900<6$を満たすような$2$以上の自然数$a$は全部で$[イ]$個ある．
(3)整数の組$(p,\ q)$のうち，$2$次方程式$x^2-2px+13=0$の解の$1$つが$p+qi$であるような組$(p,\ q)$は全部で$[ウ]$個ある．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$100$以下の自然数$m$のうち，$2$次方程式$x^2-x-m=0$の$2$つの解がともに整数であるような$m$は全部で$[エ]$個ある．
(5)$3$次方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$つの実数解をもつような整数$k$は全部で$[オ]$個ある．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=10$，$\mathrm{BC}=6$，$\displaystyle \cos A=\frac{4}{5}$とし，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，$\tan A=[ア]$であり，$\triangle \mathrm{BCM}$の外接円の半径は$[イ]$である．
(2)関数$f(x)=|x-1|-|x+2|+|x-3|$が，$f(a)=0$を満たすとき，$a=[ウ]$である．また，$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた図形の面積は$[エ]$である．
(3)$k$を正の実数とする．$3$次関数$f(x)=kx^3+3kx^2-9kx+3$の極大値は$[オ]$である．また，$f(x)=0$が正の実数解を持つような$k$の値の範囲は$[カ]$である．
(4)円$C:x^2+(y-2)^2=1$と点$\mathrm{A}(2,\ 0)$がある．この$C$上の点$\mathrm{P}$と$\mathrm{A}$を結ぶ線分$\mathrm{PA}$の中点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式は$[キ]$である．また，$\mathrm{Q}$の軌跡と$C$が交わる点の$x$座標は$[ク]$である．
(5)$a>1$に対して最小値が$2$である関数$f(x)=\log_a (x^2-2x+3)$と，関数$g(x)=\log_2 (2x-1)^2$がある．このとき，$a=[ケ]$であり，$f(x)=g(x)$を満たす$x$の値は$[コ]$である．

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．

(1)$2$次方程式$x^2+2(a-\sqrt{3})x-3 \sqrt{3}a+9=0$が$2$つの異なる実数解をもち，$x^2+ax+1=0$が虚数解をもつような$a$の値の範囲は$[1]<a<[2]$である．
(2)$\displaystyle 0<x \leqq \frac{\pi}{2}$とするとき，$\displaystyle 2-\cos^2 x+\frac{1}{4 \sin^2 x}$の最小値は$[3]$であり，そのときの$x$の値は$[4]$である．
(3)$y=|x-1|-|2x-4|$は$x=[5]$のときに最大値$[6]$をとる．
(4)$4^{200}$は$[7]$桁の整数である．また，$3^{-200}$は小数第$[8]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(5)袋の中に，$3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5$の$9$つの数字が$1$つずつ書かれた$9$個の玉があり，この中から$2$個取り出す．このとき，取り出された$2$個の玉に書かれた数の和が$8$となる確率は$[9]$であり，数の和の期待値は$[10]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)方程式$|3x-2|+x-5=1$を解くと$x=[ア]$である．また，不等式$2x^2-4>|x-1|$を解くと$[イ]$である．
(2)実数$a$に対し，$3$次方程式$x^3+(a-2)x^2+(16-2a)x-32=0$を考える．この方程式の解のうち$a$によらない解は$x=[ウ]$である．また，この方程式が$2$重解をもつような$a$の値を求めると$a=[エ]$である．
(3)$0<a<1$のとき，$x$についての方程式
\[ \log_2 (8ax-1)+\frac{\log_a (x-a)}{\log_a 2}+1=\log_2 2a \]
の解を$a$で表すと$x=[オ]$である．また，この解を最小にする$a$の値を求めると$a=[カ]$である．
(4)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{DA}=4$とし，対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{AE}$，$\mathrm{BE}$の長さの比$\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BE}}$の値を求めると$\displaystyle \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{BE}}=[キ]$であり，$\mathrm{AE}$の長さを求めると$\mathrm{AE}=[ク]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^x-4 \left( \frac{1}{3} \right)^{x-1}+27 \leqq 0$を満たす$x$の範囲は$[ア]$であり， \\
$\log_2 \left( \log_5 (x+1)+\log_5 (x+3) \right)<1$を満たす$x$の範囲は$[イ]$である．
(2)整式$P(x)$を$(x+1)(x-2)$で割ると余りは$2x+9$，$(x+1)(x+2)$で割ると余りは$-10x-3$になる．このとき$P(x)$を$(x+1)(x-2)(x+2)$で割ると，余りは$[ウ]$となる．また，$P(x)$を$(x-2)(x+2)$で割ると，余りは$[エ]$となる．
(3)関数$f(x)=x^3+3ax^2+b (b>0)$があり，方程式$f(x)=0$は$3$つの異なる実数解をもつ．このとき，実数$a$と$b$が満たす関係は$[オ]$であり，$f(x) \leqq f(0)$となる$x$の範囲は$[カ]$である．
(4)面積が$S$の正方形がある．この正方形の$4$辺をそれぞれ$1:3$に内分する点をとり，これら$4$つの内分点を頂点とする新たな正方形をつくる．この操作によってできる新たな正方形の面積は$[キ]$である．新たにできた正方形に同じ操作をほどこして，さらに新しい正方形をつくる．この操作を少なくとも$[ク]$回おこなうと，最後にできた正方形の面積が$\displaystyle \frac{1}{100}S$以下になる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(5)放物線$y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとり，$\mathrm{A}$における接線を$\ell$とする．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とし，線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点$\mathrm{P}$をとる（$0<t<1$）．$\mathrm{P}$を通り$y$軸と平行な直線が，$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$，放物線と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{QR}$の長さは$[ケ]$であり，$\mathrm{QR}:\mathrm{RP}=[コ]$である．

等比数列$\{a_n\}$について，$a_{10}=40$，$\displaystyle a_{15}=\frac{5}{4}$であるとき，以下の問に答えよ．ただし，$a_n$はすべて実数である．

(1)公比は$\displaystyle \frac{[ヌ]}{[ネ]}$である．

(2)$\displaystyle \sum_{n=15}^{19}a_n=\frac{[ノハヒ]}{[フヘ]}$である．

(3)$a_n<10^{-3}$を満たす最小の$n$は，$n=[ホマ]$である．ただし，$\log_{10}2=0.301$として計算せよ．

次の問いに答えなさい．

(1)関数$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+5 \cos^2 x$の最大値と最小値を求めなさい．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{99} \log_{10} \frac{k}{k+1}$を求めなさい．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 (x+1)e^x \, dx$を求めなさい．

正の実数$x$に対して
\[ f(x)=\int_x^{2x} (t \log t-t) \, dt \]
とおく．$f(x)$の最小値と，最小値を与える$x$を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$a>0$，$a \neq 1$，$M>0$とする．$a$を底とする$M$の対数$\log_aM$の定義を述べよ．

(2)$(1)$で述べた定義に基づいて底の変換公式$\displaystyle \log_aM=\frac{\log_bM}{\log_ba}$を証明せよ．ただし，$a,\ b,\ M$は正の実数で，$a \neq 1$，$b \neq 1$である．
(3)$m \log_3p+n \log_9q=2$を満たす正の整数$m,\ n$が存在するような正の整数の組$(p,\ q)$をすべて求めよ．