次の問いに答えよ．

(1)$2m^2-n^2-mn-m+n=18$を満たす自然数$m,\ n$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき$\displaystyle \log_{\cos \theta} \left( \tan^2 \theta+\frac{\tan \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{3} \right)=-2$を満たす$\theta$を求めよ．
(3)袋の中に$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ書かれた$5$個の玉が入っている．$5$人が順にこの袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，玉に書かれた数字を記録する．この操作が終了したら，すべての玉を袋の中に戻し，同じ操作をもう一度行う．このとき，$1$回目と$2$回目に取り出した玉に書かれた数字が同じであるという人がちょうど$3$人になる確率を求めよ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 |t-x| \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．

$f(x)=xe^{-x}$とし，関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする．また，$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする．ただし，$a$は$a>1$を満たす実数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$a=2$のとき$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を正の実数とする．楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる楕円が$y$軸と直線$y=x$に接するような$a,\ b$を求めよ．
(2)$1$辺の長さが$\sqrt{n}$の正$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$における三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の面積を$S_n$とする．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(3)$a,\ b$は実数で$a>0$を満たすとする．放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2a^2}x^2$と曲線$y=\log x+b$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとき，$\mathrm{P}$の座標および$b$を$a$を用いて表せ．

(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 \frac{|t-x|}{t^2} \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2m^2-n^2-mn-m+n=18$を満たす自然数$m,\ n$を求めよ．
(2)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$のとき$\displaystyle \log_{\cos \theta} \left( \tan^2 \theta+\frac{\tan \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{3} \right)=-2$を満たす$\theta$を求めよ．
(3)袋の中に$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が$1$つずつ書かれた$5$個の玉が入っている．$5$人が順にこの袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，玉に書かれた数字を記録する．この操作が終了したら，すべての玉を袋の中に戻し，同じ操作をもう一度行う．このとき，$1$回目と$2$回目に取り出した玉に書かれた数字が同じであるという人がちょうど$3$人になる確率を求めよ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 |t-x| \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．

$f(x)=xe^{-x}$とし，関数$y=f(x)$のグラフを$C_1$とする．また，$C_1$を$x$軸方向に$\log a$だけ平行移動したグラフを$C_2$とする．ただし，$a$は$a>1$を満たす実数である．

(1)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べ$C_1$の概形をかけ．なお，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求めよ．
(3)原点を$\mathrm{O}$とし，$C_2$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$C_1$，$C_2$および線分$\mathrm{OA}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S$に対して，$\displaystyle S<\frac{a-1}{a}$が成り立つことを示せ．

以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．

(1)曲線$\displaystyle C:y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$について，傾きが$1$である接線を$\ell$とする．$C$と$\ell$との接点の座標を求めよ．

(2)実数$\alpha,\ \beta$が$0<\alpha<\beta<1$を満たすとき，$2$つの実数$\displaystyle \frac{e^\alpha-\alpha}{\alpha}$と$\displaystyle \frac{e^\beta-\beta}{\beta}$の大小関係を不等号を用いて表せ．

(3)定積分$\displaystyle \int_0^{e-1} x \log (x+1) \, dx$を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)不等式$\log_x y>0$の表す領域を座標平面上に図示せよ．
(2)不等式$\log_y x<\log_x y$の表す領域を座標平面上に図示せよ．

以下の問いに答えよ．

(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．また，この関数の逆関数を求めよ．
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について，$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある．曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする．曲線$C$と直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある．その面積を$S$とする．$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる．さらに，$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる．このように，$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる（$n \geqq 2$）．$D_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．

以下の問いに答えよ．

(1)関数
\[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \]
の増減を調べ，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．また，この関数の逆関数を求めよ．
(2)定積分
\[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \]
について，$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ．
(3)関数
\[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \]
がある．曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする．曲線$C$と直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．