「対数」について
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国立 鳥取大学 2012年 第4問$3$以上の自然数$n$に対して
\[ S_n=\sum_{k=3}^n \frac{\log k}{k} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots) \]
とおいて数列$\{S_n\}$を定める．次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ (x>0)$の増減と極値を調べよ．
(2)$4$以上の自然数$n$に対して不等式
\[ S_n-\frac{\log 3}{3} \leqq \int_3^n \frac{\log x}{x} \, dx \leqq S_{n-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{(\log n)^2}$を求めよ．
\[ S_n=\sum_{k=3}^n \frac{\log k}{k} \quad (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots) \]
とおいて数列$\{S_n\}$を定める．次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} \ (x>0)$の増減と極値を調べよ．
(2)$4$以上の自然数$n$に対して不等式
\[ S_n-\frac{\log 3}{3} \leqq \int_3^n \frac{\log x}{x} \, dx \leqq S_{n-1} \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{(\log n)^2}$を求めよ．
国立 山口大学 2012年 第1問関数$f(x)=-x^2+15x-36$と$g(x)=\log_2(-x^2+15x-36)$について，次の問いに答えなさい．
(1)$f(x)>0$となる$x$の範囲を求めなさい．
(2)$\log_23=1.585$として，$g(x)$の最大値を小数で表しなさい．
(3)$f(g(x))>0$となる$x$の範囲を求めなさい．
(1)$f(x)>0$となる$x$の範囲を求めなさい．
(2)$\log_23=1.585$として，$g(x)$の最大値を小数で表しなさい．
(3)$f(g(x))>0$となる$x$の範囲を求めなさい．
国立 長崎大学 2012年 第6問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle I_1=\int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$とする．$x=\tan \theta$とおくことにより，$\displaystyle I_1=\frac{\pi}{3}$を示せ．
(2)(1)の$I_1$を部分積分して，$I_1$と$\displaystyle I_2=\int_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$の関係式を導き，$I_2$の値を求めよ．
(3)$t=x+\sqrt{x^2+1}$とおくことにより，不定積分$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ．
(4)合成関数の微分法を用いて，関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right\}$を求めよ．
(1)$\displaystyle I_1=\int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$とする．$x=\tan \theta$とおくことにより，$\displaystyle I_1=\frac{\pi}{3}$を示せ．
(2)(1)の$I_1$を部分積分して，$I_1$と$\displaystyle I_2=\int_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$の関係式を導き，$I_2$の値を求めよ．
(3)$t=x+\sqrt{x^2+1}$とおくことにより，不定積分$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ．
(4)合成関数の微分法を用いて，関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right\}$を求めよ．
国立 長崎大学 2012年 第8問実数$x,\ y$が連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{ll}
10^{10}<2^x3^y<10^{11} & \cdots\cdots (\mathrm{A}) \\
10^9<3^x2^y<10^{10} & \cdots\cdots (\mathrm{B})
\end{array}
\right. \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)連立不等式$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$が表す$xy$平面上の領域は，どのような図形であるか答えよ．また，その理由を述べよ．
(2)連立不等式$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を満たす実数$x,\ y$において，$x+y$がとりうる値の範囲，および$y-x$がとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．
(3)連立不等式$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を満たす整数$x,\ y$を考える．このとき，$y-x$が最大となる整数$x,\ y$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$として計算してよい．
\[ \left\{
\begin{array}{ll}
10^{10}<2^x3^y<10^{11} & \cdots\cdots (\mathrm{A}) \\
10^9<3^x2^y<10^{10} & \cdots\cdots (\mathrm{B})
\end{array}
\right. \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．
(1)連立不等式$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$が表す$xy$平面上の領域は，どのような図形であるか答えよ．また，その理由を述べよ．
(2)連立不等式$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を満たす実数$x,\ y$において，$x+y$がとりうる値の範囲，および$y-x$がとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．
(3)連立不等式$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を満たす整数$x,\ y$を考える．このとき，$y-x$が最大となる整数$x,\ y$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$として計算してよい．
国立 福岡教育大学 2012年 第4問次の問いに答えよ．
(1)無限級数
\[ 1+\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{(1+e^x)^2}+\cdots +\frac{1}{(1+e^x)^n}+\cdots \]
はすべての実数$x$について収束することを示し，その和を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(2)$(1)$で求めた無限級数の和を$f(x)$とする．方程式$\log f(x)=x$を解け．ただし，対数は自然対数とする．
(1)無限級数
\[ 1+\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{(1+e^x)^2}+\cdots +\frac{1}{(1+e^x)^n}+\cdots \]
はすべての実数$x$について収束することを示し，その和を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(2)$(1)$で求めた無限級数の和を$f(x)$とする．方程式$\log f(x)=x$を解け．ただし，対数は自然対数とする．
国立 防衛大学校 2012年 第5問$a$を$0<a<\log 2$となる定数とし，曲線$C$と直線$\ell$を
\[ C:y=\log x \quad (x>0) \qquad \ell:y=a \]
により定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)$C$と$\ell$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$a$で表せ．
(2)$C$と$\ell$および直線$x=2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1=S_2$となる$a$の値を求めよ．
(3)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$の値が最小となる$a$の値を求めよ．
\[ C:y=\log x \quad (x>0) \qquad \ell:y=a \]
により定める．このとき，次の問に答えよ．
(1)$C$と$\ell$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を$S_1$とするとき，$S_1$を$a$で表せ．
(2)$C$と$\ell$および直線$x=2$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1=S_2$となる$a$の値を求めよ．
(3)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$の値が最小となる$a$の値を求めよ．
国立 防衛大学校 2012年 第2問平面上のベクトル$\overrightarrow{a_n}$，$\overrightarrow{b_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を，$\overrightarrow{a_1}=(4,\ 0)$，$\overrightarrow{b_1}=(0,\ 4)$と関係式
\[ \overrightarrow{a_{n+1}}=\frac{3 \overrightarrow{a_n}+\overrightarrow{b_n}}{4},\quad \overrightarrow{b_{n+1}}=\frac{\overrightarrow{a_n}-3 \overrightarrow{b_n}}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．さらに原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}$，$\overrightarrow{b_n}=\overrightarrow{\mathrm{OB}_n}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{a_2},\ \overrightarrow{b_2}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a_{n+2}}$を$\overrightarrow{a_n}$で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$の面積を$S_n$とするとき，$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}$の値を求めよ．
(4)$S_1+S_2+\cdots +S_n>21$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
\[ \overrightarrow{a_{n+1}}=\frac{3 \overrightarrow{a_n}+\overrightarrow{b_n}}{4},\quad \overrightarrow{b_{n+1}}=\frac{\overrightarrow{a_n}-3 \overrightarrow{b_n}}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．さらに原点を$\mathrm{O}$とし，$\overrightarrow{a_n}=\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}$，$\overrightarrow{b_n}=\overrightarrow{\mathrm{OB}_n}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{a_2},\ \overrightarrow{b_2}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a_{n+2}}$を$\overrightarrow{a_n}$で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OA}_n \mathrm{B}_n$の面積を$S_n$とするとき，$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}$の値を求めよ．
(4)$S_1+S_2+\cdots +S_n>21$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
国立 愛媛大学 2012年 第2問数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が条件
\[ S_n=4n-3a_n \]
を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)初項$a_1$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle a_n>\frac{35}{9}$となる最小の自然数$n$を求めよ．ただし，必要ならば$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$として計算してよい．
\[ S_n=4n-3a_n \]
を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)初項$a_1$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle a_n>\frac{35}{9}$となる最小の自然数$n$を求めよ．ただし，必要ならば$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$として計算してよい．
国立 山梨大学 2012年 第1問次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ．
(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは，すべての$x$で等式$[ ]$が成立することである．関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[ ]$である．
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき，無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は，$x$の値が$[ ]$以外のときであり，収束するときの無限級数の和は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[ ]$であり，$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[ ]$である．
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち，$y$座標が大きい方の座標は$[ ]$である．この楕円の長軸の長さは$[ ]$である．
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし，区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を，$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$，$\cdots$，$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする．各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる．$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき，この小区間での長方形の面積は$[ ]$となり，それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする．また，$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする．このとき，$S_n-s_n$は$[ ]$となる．
(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは，すべての$x$で等式$[ ]$が成立することである．関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[ ]$である．
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき，無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は，$x$の値が$[ ]$以外のときであり，収束するときの無限級数の和は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[ ]$であり，$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[ ]$である．
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち，$y$座標が大きい方の座標は$[ ]$である．この楕円の長軸の長さは$[ ]$である．
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし，区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を，$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$，$\cdots$，$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする．各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる．$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき，この小区間での長方形の面積は$[ ]$となり，それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする．また，$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする．このとき，$S_n-s_n$は$[ ]$となる．
国立 愛媛大学 2012年 第4問実数$a$は$a>e$を満たすとし，曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$における接線を$\ell$とする．
(1)$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(a)$とし，曲線$y=\log x$と$x$軸および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を求めよ．
(3)$T(a)=S_2(a)-S_1(a)$とおく．$e^2 \leqq a \leqq e^3$における$T(a)$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(a)$とし，曲線$y=\log x$と$x$軸および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を求めよ．
(3)$T(a)=S_2(a)-S_1(a)$とおく．$e^2 \leqq a \leqq e^3$における$T(a)$の最大値と最小値を求めよ．