$x>0$に対して，$\displaystyle f_n(x)=x^{\frac{1}{n}}\log x \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f_n(x)$の極値と，極値を与える$x$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$x$の値を$a_n$とするとき，$x \geqq a_n$の範囲における曲線$y=f_n(x)$と直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ne^{-n}=0$を用いてもよい．

$x>0$に対して，$\displaystyle f_n(x)=x^{\frac{1}{n}}\log x \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f_n(x)$の極値と，極値を与える$x$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$x$の値を$a_n$とするとき，$x \geqq a_n$の範囲における曲線$y=f_n(x)$と直線$x=a_n$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S_n$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．ただし，必要があれば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ne^{-n}=0$を用いてもよい．

関数
\[ f(x)=\left( x+\frac{1}{2} \right) \log \left( 1+\frac{1}{x} \right) \quad (x>0) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f^{\prime}(x)$の値を求め，さらに$f^\prime(x)<0$であることを証明せよ．
(3)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べ，そのグラフの概形をかけ．

曲線$C:y=\log x$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}(b,\ \log b)$をとり，$C$の$\mathrm{A}$における接線と$\mathrm{B}$における接線の交点について考える．次の問いに答えよ．

(1)任意に与えられた$a>1$に対して，$2$本の接線の交点がちょうど直線$x=1$上にくるような$b$が唯一つだけ存在し，$b<1$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}\displaystyle \left( \frac{1}{a},\ \log \frac{1}{a} \right) \ (a>1)$について，$2$本の接線の交点の$x$座標が$1$より大きいか小さいかを調べよ．
(3)$k$を自然数とする．$\displaystyle a=1+\frac{1}{k}$として(2)の結果を使って，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \frac{1}{2} \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\log n \quad (n \geqq 2) \]

次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)$\log_{10}(x+2)-\log_{10}\sqrt{6x+19} \geqq 0$を満たす実数$x$の範囲を求めると[　]．
(2)右記の図のような1辺の長さが1の正六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において \\
$\mathrm{AG}$の長さを求めると[　]．
\img{2_2_2012_2}{10}
(3)箱の中に，平成19年から平成23年の各年に発行された1,000円の商品券が1枚ずつ，5,000円の商品券が1枚ずつ，10,000円の商品券が1枚ずつ，計15枚の商品券が入っている．そこから1枚ずつ3枚の商品券を取り出したとき，取り出された商品券の発行年がすべて異なり，かつそれらの合計が15,000円以上になる確率は[　]である．ただし，どの商品券も同形同質であり，一度取り出された商品券は箱に戻さないものとし，各商品券には発行年と額面が記載されているものとする．

等式
\[ \begin{array}{lrr}
c=\sin 2\theta-2 \cos \theta & &\cdots\cdots① \\
\log_y(x-3)+\log_y(x+1)-1=0 \quad (y>0,\ y \neq 1) & & \cdots\cdots②
\end{array} \]
について，次の各問に解答しなさい．

(1)$①$式について，$\sin \theta+\cos \theta=1$とする．

(i) $\sin \theta$と$\cos \theta$のとりうる値を求めなさい．
(ii) $c$のとりうる値を求めなさい．
(iii) 1個のサイコロを投げるとき，2以下の目が出れば$\sin \theta=0$，3以上の目が出れば$\sin \theta=1$とする．$c$の確率分布を求め，さらに，$c$の平均と分散を求めなさい．

(2)$①$式について，$\displaystyle c=-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \sin \theta=\frac{1}{2}$とする．

(i) $0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$\tan \theta$および$\theta$の値を求めなさい．
(ii) $0 \leqq \theta \leqq 10\pi$のとき，$\theta$がとりうるすべての値の合計を求めなさい．

(3)$②$式について，$y$を$x$の関数として$y=f(x)$と表す．

(i) 関数$f(x)$を$x$で表し，$x$のとりうる値の範囲を求めなさい．
(ii) $y=a$とするとき，$x$の値を$a$で表しなさい．ただし，$a$は$a>0,\ a \neq 1$を満たす定数である．

以下の問いに答えなさい．

(1)次の方程式を満たす$x$と$y$を求めなさい．
\[ |xy-2x-y+2|+|1-e^{x+y|}=0 \]
(2)次の不等式を解きなさい．
\[ 3 \log_{0.5}(x-1)>\log_{0.5}(-x^2+6x-7) \]
(3)次の定積分を求めなさい．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} x \sin 2x \, dx \]
(4)関数$f(x)=e^{\sin x}$を微分しなさい．

以下の各問に答えよ．

(1)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2+x+3}-x \right)$を求めよ．
(2)関数$y=(x-2)^8(2x+3)^6$を微分せよ．
(3)次の定積分を求めよ．ただし，対数は自然対数であり，$e$は自然対数の底である．
\[ (ⅰ) \quad \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{3x+1}} \, dx \qquad (ⅱ) \quad \int_{2}^{2e} \frac{1}{2} \log \frac{x}{2} \, dx \]

区間$1 \leqq x \leqq 4$で定められた関数$\displaystyle f(x)=\sqrt{4x-x^2},\ g(x)=\sqrt{x \log \frac{4}{x}}$について，次の問いに答えよ．ただし対数は自然対数とする．

(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．
(2)区間$1 \leqq x \leqq 4$において$\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2 \geqq 0$が成り立つことを示せ．
(3)2つの曲線$y=f(x),\ y=g(x)$と直線$x=1$で囲まれた部分を$D$とおく．$D$を$x$軸の周りに1回転させてできる回転体の体積$W$を求めよ．

$a$を正の定数とする．次の等式が成り立つとき，$\log a$の値を求めよ．
\[ \frac{\int_1^e \log (ax) \, dx}{\int_1^e x \, dx}=\int_1^e \frac{\log (ax)}{x} \, dx \]