「対数」について
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国立 宮崎大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$
(3)$y=\sin^3 (2x+1)$
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)$\displaystyle \int_1^2 \frac{x-1}{x^2-2x+2} \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{4x}}{e^{2x}+2} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_1^e x \log \sqrt{x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^2 x \sin 3x -\frac{1}{4} \sin 5x \right) \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
(2)$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$
(3)$y=\sin^3 (2x+1)$
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)$\displaystyle \int_1^2 \frac{x-1}{x^2-2x+2} \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{4x}}{e^{2x}+2} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_1^e x \log \sqrt{x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^2 x \sin 3x -\frac{1}{4} \sin 5x \right) \, dx$
国立 宮崎大学 2012年 第2問$a$を正の定数とするとき，関数
\[ y=\left( \log_2 \frac{1+\sin x}{a} \right) \left( \log_4 \frac{1+\sin x}{2a} \right) \quad \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
の最小値を，$a$を用いて表せ．
\[ y=\left( \log_2 \frac{1+\sin x}{a} \right) \left( \log_4 \frac{1+\sin x}{2a} \right) \quad \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
の最小値を，$a$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2012年 第1問$a$を正の定数とするとき，関数
\[ y=\left( \log_2 \frac{1+\sin x}{a} \right) \left( \log_4 \frac{1+\sin x}{2a} \right) \quad \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
の最小値を，$a$を用いて表せ．
\[ y=\left( \log_2 \frac{1+\sin x}{a} \right) \left( \log_4 \frac{1+\sin x}{2a} \right) \quad \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
の最小値を，$a$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2012年 第1問次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．
(1)次の関数を微分せよ．
(2)$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$
(3)$y=\sin^3 (2x+1)$
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)$\displaystyle \int_1^2 \frac{x-1}{x^2-2x+2} \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{4x}}{e^{2x}+2} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_1^e x \log \sqrt{x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^2 x \sin 3x -\frac{1}{4} \sin 5x \right) \, dx$
(1)次の関数を微分せよ．
(2)$\displaystyle y=\frac{1-x^2}{1+x^2}$
(3)$y=\sin^3 (2x+1)$
(4)次の定積分の値を求めよ．
(5)$\displaystyle \int_1^2 \frac{x-1}{x^2-2x+2} \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^1 \frac{e^{4x}}{e^{2x}+2} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_1^e x \log \sqrt{x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} \left( \cos^2 x \sin 3x -\frac{1}{4} \sin 5x \right) \, dx$
国立 鹿児島大学 2012年 第4問$e$を自然対数の底とし，$\log x$を自然対数とする．次の各問いに答えよ．
(1)$p,\ q$を$p>0,\ q>1$を満たす定数とする．曲線$y=p \log x$と直線$x=q$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$p,\ q$を使って表せ．
(2)2つの曲線$y=\log x,\ y=3 \log x$と2つの直線$x=e,\ x=e^2$で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(3)(2)で与えられた$D$を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)$p,\ q$を$p>0,\ q>1$を満たす定数とする．曲線$y=p \log x$と直線$x=q$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$p,\ q$を使って表せ．
(2)2つの曲線$y=\log x,\ y=3 \log x$と2つの直線$x=e,\ x=e^2$で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積を求めよ．
(3)(2)で与えられた$D$を$x$軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 群馬大学 2012年 第4問$x,\ y>0$のとき，
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4^x=2^{y+1} \\
\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{xy}=1
\end{array}
\right. \]
を同時に満たす$x,\ y$を求めよ．
\[ \left\{
\begin{array}{l}
4^x=2^{y+1} \\
\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{xy}=1
\end{array}
\right. \]
を同時に満たす$x,\ y$を求めよ．
国立 和歌山大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\log_5 11$と$\log_6 15$と$\displaystyle \frac{3}{2}$の大小を比較し，小さい方から順に並べよ．
(2)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{4}=\frac{1}{5}$であるとき，$\alpha$と$\displaystyle \frac{\pi}{4}$の大小を比較せよ．
(1)$\log_5 11$と$\log_6 15$と$\displaystyle \frac{3}{2}$の大小を比較し，小さい方から順に並べよ．
(2)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{4}=\frac{1}{5}$であるとき，$\alpha$と$\displaystyle \frac{\pi}{4}$の大小を比較せよ．
国立 和歌山大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\log_5 11$と$\log_6 15$と$\displaystyle \frac{3}{2}$の大小を比較し，小さい方から順に並べよ．
(2)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{4}=\frac{1}{5}$であるとき，$\alpha$と$\displaystyle \frac{\pi}{4}$の大小を比較せよ．
(1)$\log_5 11$と$\log_6 15$と$\displaystyle \frac{3}{2}$の大小を比較し，小さい方から順に並べよ．
(2)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle \tan \frac{\alpha}{4}=\frac{1}{5}$であるとき，$\alpha$と$\displaystyle \frac{\pi}{4}$の大小を比較せよ．
国立 徳島大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)実数$x,\ y$が$x+y=5,\ x^3+y^3=50$を満たすとき，$xy,\ x^2+y^2,\ x^5+y^5$の値を求めよ．
(2)$x>1$とする．不等式$\displaystyle \log_2 \frac{x}{4^3}+\log_x 4^4<0$を解け．
(1)実数$x,\ y$が$x+y=5,\ x^3+y^3=50$を満たすとき，$xy,\ x^2+y^2,\ x^5+y^5$の値を求めよ．
(2)$x>1$とする．不等式$\displaystyle \log_2 \frac{x}{4^3}+\log_x 4^4<0$を解け．
国立 お茶の水女子大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$x>0$で
\[ f(x)+\int_1^x \frac{f(t)}{t} \, dt =3x^2-2x \]
を満たす多項式$f(x)$を求めよ．
(2)$x>0$で(1)で求めた$f(x)$と$g(x)=1+3 \log x$を考える．このとき関数$f(x)$と$g(x)$のグラフをかけ．
(3)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x>0 \\
0 \leqq y \leqq 1 \\
g(x) \leqq y \leqq f(x)
\end{array}
\right. \]
を満たす領域の面積を求めよ．
(4)(3)で求めた領域を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
(1)$x>0$で
\[ f(x)+\int_1^x \frac{f(t)}{t} \, dt =3x^2-2x \]
を満たす多項式$f(x)$を求めよ．
(2)$x>0$で(1)で求めた$f(x)$と$g(x)=1+3 \log x$を考える．このとき関数$f(x)$と$g(x)$のグラフをかけ．
(3)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x>0 \\
0 \leqq y \leqq 1 \\
g(x) \leqq y \leqq f(x)
\end{array}
\right. \]
を満たす領域の面積を求めよ．
(4)(3)で求めた領域を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．