ある工場では，昼間にタンクの水を使用し，夜間に水を補給する．毎日，朝の水量のうち10$\%$が使用され，その日の夜に200リットルが補給される．操業1日目の朝の始業前には，タンクの水量が8000リットルであった．このとき，次の問いに答えよ．

(1)3日目の朝の始業前のタンクの水量を求めよ．
(2)$n$日目の朝の始業前のタンクの水量を$a_n$リットルとするとき，$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)朝の始業前のタンクの水量がはじめて2400リットル未満になるのは，何日目の朝か．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

$x$の方程式$|\log_{10|x}=px+q \ (p,\ q \text{は実数})$が$3$つの相異なる正の解をもち，次の$2$つの条件を満たすとする．
\begin{itemize}
$3$つの解の比は，$1:2:3$である．
$3$つの解のうち最小のものは，$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きく，$1$より小さい．
\end{itemize}
このとき，$A=\log_{10}2,\ B=\log_{10}3$とおき，$p$と$q$を$A$と$B$を用いて表せ．

自然対数の底を$e$とする．以下の問に答えよ．

(1)$e<3$であることを用いて，不等式$\displaystyle \log 2 > \frac{3}{5}$が成り立つことを示せ．
(2)関数$\displaystyle f(x) = \frac{\sin x}{1+\cos x}-x$の導関数を求めよ．
(3)積分
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{1+\cos x} \, dx \]
の値を求めよ．
(4)(3)で求めた値が正であるか負であるかを判定せよ．

ある工場では，昼間にタンクの水を使用し，夜間に水を補給する．毎日，朝の水量のうち10$\%$が使用され，その日の夜に200リットルが補給される．操業1日目の朝の始業前には，タンクの水量が8000リットルであった．このとき，次の問いに答えよ．

(1)3日目の朝の始業前のタンクの水量を求めよ．
(2)$n$日目の朝の始業前のタンクの水量を$a_n$リットルとするとき，$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)朝の始業前のタンクの水量がはじめて2400リットル未満になるのは，何日目の朝か．ただし，$\log_{10}2 = 0.3010,\ \log_{10}3 = 0.4771$とする．

$x>0$に対して$\displaystyle f(x) =\int_x^{x+1} \log t \, dt$とおき，$y=f(x)$のグラフを$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし$\displaystyle \lim_{x \to +0} x \log x = 0$を使ってよい．

(1)$f(x)$と$f^\prime (x)$をそれぞれ求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_1^2 f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$k \geqq 0$を定数とする．直線$y = k(x+1)$と曲線$C$が共有点をもつための条件を求めよ．

$\log_{10}2 = 0.3010,\ \log_{10}3 = 0.4771$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \log_{10} \left(\frac{2}{3}\right),\ \log_{10} \left( \frac{1}{2} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^m \geqq \frac{1}{10},\ \left( \frac{1}{2} \right)^n \geqq \frac{1}{10}$を満たす最大の自然数$m,\ n$を求めよ．
(3)連立不等式$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^x \left( \frac{1}{2} \right)^y \geqq \frac{1}{10},\ x \geqq 0,\ y \geqq 0$の表す領域を座標平面に図示せよ．
(4)$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^m \left( \frac{1}{2} \right)^n \geqq \frac{1}{10}$を満たす自然数$m$と$n$の組$(m,\ n)$をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\log_{10} 3 = 0.4771$として，$\displaystyle \sum_{n=0}^{99} 3^n$の桁数を求めよ．
(2)実数$a$に対して，$a$を超えない最大の整数を$[ \, a \, ]$で表す．$10000$以下の正の整数$n$で$[ \, \sqrt{n} \, ]$が$n$の約数となるものは何個あるか．

$n$を正の整数とする．数列$\{a_k\}$を
\[ a_1 = \frac{1}{n(n+1)},\ a_{k+1} = -\frac{1}{k +n+1}+\frac{n}{k} \sum_{i=1}^k a_i \quad (k = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．

(1)$a_2$および$a_3$を求めよ．
(2)一般項$a_k$を求めよ．
(3)$b_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \sqrt{a_k}$とおくとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \log 2$を示せ．

曲線$C:y=\log x \ (x>0)$を考える．自然数$n$に対して，曲線$C$上に点P$(e^n,\ n)$，Q$(e^{2n},\ 2n)$をとり，$x$軸上に点A$(e^n,\ 0)$，B$(e^{2n},\ 0)$をとる．四角形APQBを$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(n)$とする．また，線分PQと曲線$C$で囲まれる部分を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を$S(n)$とする．

(1)$V(n)$を$n$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S(n)}{V(n)}$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$に対し，
\[ x < \tan x\]
となることを示せ．
(2)$x>0$に対し，
\[ \log \left( x+\sqrt{1+x^2} \right) > \sin x \]
となることを示せ．ただし，対数は自然対数である．