以下の問いの空欄$[サ]$～$[ト]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)$i$を虚数単位とする．$x=1+i$および$y=1-i$のとき，$x^2+5xy+4y^2$の値は実部が$[サ]$，虚部が$[シ]$となる．
(2)$2$点$(-1,\ 0)$，$(3,\ 2)$を通る半径が$\sqrt{10}$の円は，中心の座標が$([ス],\ [セ])$のものと$([ソ],\ [タ])$のものがある．
(3)$\alpha$と$\beta$が鋭角で，$\displaystyle \sin \alpha=\frac{1}{3}$，$\displaystyle \sin \beta=\frac{3}{5}$のとき，$\sin (\alpha+\beta)$の値は$[チ]$である．
(4)方程式$\displaystyle \log_2 x \cdot \log_2 \frac{x}{2}=12$の解は，$x=[ツ]$と$x=[テ]$である．
(5)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，$S_n=n \cdot 2^{n+1}$で表されるとき，この数列の一般項$a_n$は$[ト]$となる．

次の不等式を解け．
\[ \log_2 (4-x)+\log_4 (x+2) \leqq \frac{5}{2} \]

曲線$y=\log_e (x+1)-1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．以下の問いに答えよ．

(1)${18}^{20}$の桁数を求めよ．
(2)$n$を自然数とする．$\displaystyle \left( \frac{4}{15} \right)^{n}$は小数で表すと，小数第$1$位から小数第$9$位まですべて$0$で，かつ小数第$10$位が$0$でない数字になるとする．このとき，$n$をすべて求めよ．

以下の各問いに答えよ．

(1)座標平面上の直線$x+2y=6$上にあって，点$(2,\ -3)$との距離が最小になる点の座標を求めよ．
(2)座標平面上の曲線$C:x^2+xy+y^2=3$について，以下の問いに答えよ．

(i) 原点のまわりの${45}^\circ$の回転移動によって，$C$上の各点が移る曲線の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$C$で囲まれた図形のうち，$y \geqq 0$の領域に含まれる部分の面積を求めよ．

(3)座標平面上において，曲線$C_1:y=x \log x (x \geqq 1)$と放物線$C_2:y=ax^2$がある点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$において共通の接線$\ell$を持つものとする．

(i) $a$の値を求めよ．
(ii) $C_1$，$C_2$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$C_1$，$\ell$および$x$軸によって囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1,\ S_2$の値を求めよ．

(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$と$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A$，$B$で表し，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す．$\displaystyle \tan \theta=\frac{3}{4}$になる$\displaystyle \theta \left( -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$について，$\displaystyle \frac{a}{c} \cos (B-\theta)+\frac{b}{c} \cos (A+\theta)$の値を求めよ．
(5)$n$は自然数とする．導関数の定義にしたがって，関数$f(x)=x^n$の導関数を求めよ．
(6)$n$は$2$以上の自然数とする．$\displaystyle \frac{1}{2^n}$は，小数第$(n-1)$位が$2$，小数第$n$位が$5$である小数第$n$位までの有限小数で表わされることを示せ．

次の各問に答えよ．

(1)$a$が正の実数のとき$\displaystyle\lim_{n \to \infty}(1+a^n)^{\frac{1}{n}}$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{x^2}\log \sqrt{1+x^2}\, dx$の値を求めよ．

$a>0$に対し，
\[ f(a) = \lim_{t \to +0} \int_t^1 |ax+x\log x| \, dx \]

とおく．次の問いに答えよ．必要ならば，$\displaystyle \lim_{t \to +0} t^n \log t = 0\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を用いてよい．

(1)$f(a)$を求めよ．
(2)$a$が正の実数全体を動くとき，$f(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

$\log_x y + 2\log_y x \leqq 3$を満たす点$(x,\ y)$の存在する領域を図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)不定積分
\[ \int x^2\cos (a\log x) \, dx \]
を求めよ．ただし，$a$は0でない定数とする．
(2)曲線$y=x\cos (\log x)$と$x$軸，および$2$直線$\displaystyle x=1,\ x=e^{\frac{\pi}{4}}$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

$f(x)=\log_2 (x-1)+\log_2 (4-x)$とする．次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)不等式$f(x) \geqq 0$を解け．
(3)関数$f(x)$の最大値を$m$とするとき，$2^{m-2}$を求めよ．
(4)(3)の$m$について，$1000^m$の整数部分の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．