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私立 東京電機大学 2013年 第1問次の各問に答えよ．
(1)関数$y=2 \cos^2 x-\sin x-1 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_ka_{k+1}}$を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^1 xe^{1-x} \, dx$を求めよ．
(5)関数$f(x)=x^3 \log x$の極値を求めよ．
(1)関数$y=2 \cos^2 x-\sin x-1 (0 \leqq x \leqq 2\pi)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)袋の中に赤玉$3$個，白玉$4$個，青玉$5$個が入っている．この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，異なる色の玉を取り出す確率を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$が，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_ka_{k+1}}$を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^1 xe^{1-x} \, dx$を求めよ．
(5)関数$f(x)=x^3 \log x$の極値を求めよ．
私立 日本医科大学 2013年 第3問次の各問いに答えよ．
(1)$x \geqq 1,\ k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$として
\[ I_k(x)=\int \frac{(\log x)^k}{x^2} \, dx \]
とおくとき，$I_0(x)$を求め，$I_{k+1}(x)$を$I_k(x)$を用いて表せ．また$I_4(x)$を求めよ．
(2)$x>0$で不等式$\displaystyle \log x \leqq \frac{3}{e}x^{\frac{1}{3}}$が成り立つことを証明せよ．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$に関する以下の各問いに答えよ．
(i) $y=f(x) (x \geqq 1)$の極値，極限$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$を調べ，増減表を作り，グラフの概形を描け．
(ii) $n>1$として，$y=f(x)$と$2$直線$x=n$，$x=n^2$および$x$軸で囲まれる部分$D_n$の面積$S_n$を求めよ．
(iii) $D_n$を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積$V_n$を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{nV_n}{(\log n)S_n}$の値を求めよ．
(1)$x \geqq 1,\ k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$として
\[ I_k(x)=\int \frac{(\log x)^k}{x^2} \, dx \]
とおくとき，$I_0(x)$を求め，$I_{k+1}(x)$を$I_k(x)$を用いて表せ．また$I_4(x)$を求めよ．
(2)$x>0$で不等式$\displaystyle \log x \leqq \frac{3}{e}x^{\frac{1}{3}}$が成り立つことを証明せよ．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$に関する以下の各問いに答えよ．
(i) $y=f(x) (x \geqq 1)$の極値，極限$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$を調べ，増減表を作り，グラフの概形を描け．
(ii) $n>1$として，$y=f(x)$と$2$直線$x=n$，$x=n^2$および$x$軸で囲まれる部分$D_n$の面積$S_n$を求めよ．
(iii) $D_n$を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積$V_n$を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{nV_n}{(\log n)S_n}$の値を求めよ．
私立 北里大学 2013年 第5問$a,\ b$を$a^2b^3=64$を満たす正の実数とする．
(1)$(\log_2a)^2+\log_2b$の値が最小となるときの$a,\ b$の値は$a=[ツ]$，$b=[テ]$である．
(2)$c=b^{\log_2a+1}$とおく．$\log_2a=t$とおくとき，$\log_2c$は$t$を用いて$\log_2c=[ト]$と表される．$t$の関数$f(t)$を$f(t)=[ト]$と定めるとき，関数$f(t)$の最大値は$[ナ]$である．
(3)$k,\ l$を$0<k<1<l$を満たす実数とする．$(2)$で定めた関数$f(t)$の定義域を$k \leqq t \leqq l$としたとき，値域は$k \leqq f(t) \leqq l$になった．このとき，$k,\ l$の値は，$k=[ニ]$，$l=[ヌ]$である．
(1)$(\log_2a)^2+\log_2b$の値が最小となるときの$a,\ b$の値は$a=[ツ]$，$b=[テ]$である．
(2)$c=b^{\log_2a+1}$とおく．$\log_2a=t$とおくとき，$\log_2c$は$t$を用いて$\log_2c=[ト]$と表される．$t$の関数$f(t)$を$f(t)=[ト]$と定めるとき，関数$f(t)$の最大値は$[ナ]$である．
(3)$k,\ l$を$0<k<1<l$を満たす実数とする．$(2)$で定めた関数$f(t)$の定義域を$k \leqq t \leqq l$としたとき，値域は$k \leqq f(t) \leqq l$になった．このとき，$k,\ l$の値は，$k=[ニ]$，$l=[ヌ]$である．
私立 北里大学 2013年 第1問次の文中の$[ア]$～$[ニ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．
(1)複素数$z=1-\sqrt{3}i$のとき，
\[ \frac{1}{z}=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}i}{[ウ]} \]
また，
\[ z^3=[エ]+[オ]i \]
である．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 3$において定義された関数$\displaystyle f(x)=|x-1|+\frac{1}{2} |x-2|$の最小値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(3)$\log_{|a-b|}27=3$，および，$2^{2b-a}=8$とする．このとき，$a=[コ]$，$b=[サ]$，または，$a=[シ]$，$b=[ス]$である．
(4)$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta=-\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{[セ]}{[ソ][タ]} \pi$であり，$\displaystyle (\sin \theta+\cos \theta)^2=\frac{[チ]}{[ツ]}$である．ただし，$\displaystyle -\frac{1}{2}\pi \leqq \theta \leqq \frac{1}{2} \pi$とする．
(5)$7$つの文字$\mathrm{INSTANT}$を一列に並べるとき，相異なる並べ方は$\kakkofour{テ}{ト}{ナ}{ニ}$通りである．
(1)複素数$z=1-\sqrt{3}i$のとき，
\[ \frac{1}{z}=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}i}{[ウ]} \]
また，
\[ z^3=[エ]+[オ]i \]
である．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 3$において定義された関数$\displaystyle f(x)=|x-1|+\frac{1}{2} |x-2|$の最小値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(3)$\log_{|a-b|}27=3$，および，$2^{2b-a}=8$とする．このとき，$a=[コ]$，$b=[サ]$，または，$a=[シ]$，$b=[ス]$である．
(4)$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta=-\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{[セ]}{[ソ][タ]} \pi$であり，$\displaystyle (\sin \theta+\cos \theta)^2=\frac{[チ]}{[ツ]}$である．ただし，$\displaystyle -\frac{1}{2}\pi \leqq \theta \leqq \frac{1}{2} \pi$とする．
(5)$7$つの文字$\mathrm{INSTANT}$を一列に並べるとき，相異なる並べ方は$\kakkofour{テ}{ト}{ナ}{ニ}$通りである．
私立 東京薬科大学 2013年 第3問$k$を実数の定数とする．$x$の方程式
\[ (\log_2x)^2-\log_2x^5+k=0 \cdots\cdots (*) \]
がある．
(1)$t=\log_2x$とおくとき，$(*)$を$t$の式で表すと，
\[ [ホ]t^2+[$*$マ]t+k=0 \]
となる．
(2)$k=4$のとき$(*)$の解は$x=[ミ],\ [ムメ]$である．
(3)$(*)$が二つの異なる実数解をもつための$k$の範囲は，$\displaystyle k<\frac{[モヤ]}{[ユ]}$である．
(4)$(3)$の下で，$(*)$の二つの解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$が$\beta=4 \alpha$という関係にあるなら，$\alpha=[ヨ] \sqrt{[ラ]}$となる．
\[ (\log_2x)^2-\log_2x^5+k=0 \cdots\cdots (*) \]
がある．
(1)$t=\log_2x$とおくとき，$(*)$を$t$の式で表すと，
\[ [ホ]t^2+[$*$マ]t+k=0 \]
となる．
(2)$k=4$のとき$(*)$の解は$x=[ミ],\ [ムメ]$である．
(3)$(*)$が二つの異なる実数解をもつための$k$の範囲は，$\displaystyle k<\frac{[モヤ]}{[ユ]}$である．
(4)$(3)$の下で，$(*)$の二つの解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$が$\beta=4 \alpha$という関係にあるなら，$\alpha=[ヨ] \sqrt{[ラ]}$となる．
私立 東京薬科大学 2013年 第1問次の$[ ]$に適当な数，式を入れよ．ただし，$*$については，$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$2$次方程式$x^2-4x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とすると，
\[ \alpha^2+\beta^2=[アイ],\quad \alpha^2-\beta^2=[ウ] \sqrt{[エ]},\quad \alpha^3+\beta^3=[オカ] \]
である．
(2)$\displaystyle \left( \frac{5}{2} \right)^{100}$の整数部分の桁数は$[キク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とせよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{5}{2}n$であるとき，$a_n=[$*$ケ]n+[$*$コ]$である．
(4)$1$枚の硬貨を$5$回投げるとき，表が$3$回出る確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$であり，$3$度目の表が$5$回目の試行で出る確率は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソタ]}$である．
(1)$2$次方程式$x^2-4x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とすると，
\[ \alpha^2+\beta^2=[アイ],\quad \alpha^2-\beta^2=[ウ] \sqrt{[エ]},\quad \alpha^3+\beta^3=[オカ] \]
である．
(2)$\displaystyle \left( \frac{5}{2} \right)^{100}$の整数部分の桁数は$[キク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とせよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{5}{2}n$であるとき，$a_n=[$*$ケ]n+[$*$コ]$である．
(4)$1$枚の硬貨を$5$回投げるとき，表が$3$回出る確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$であり，$3$度目の表が$5$回目の試行で出る確率は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソタ]}$である．
私立 同志社大学 2013年 第4問$xy$平面において，曲線$C:y=\log x$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$と$\mathrm{B}(a+h,\ \log (a+h))$ $(h \neq 0)$をとる．点$\mathrm{A}$における$C$の法線と点$\mathrm{B}$における$C$の法線の交点を$\mathrm{D}(\alpha,\ \beta)$とする．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$における法線の方程式を求めよ．
(2)$\alpha$と$\beta$をそれぞれ$a$と$h$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle p=\lim_{h \to 0} \alpha$と$\displaystyle q=\lim_{h \to 0} \beta$とする．$p$と$q$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{E}$の座標を$(p,\ q)$とする．線分$\mathrm{AE}$の長さを最小にする$a$の値と，そのときの線分$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．
(1)点$\mathrm{A}$における法線の方程式を求めよ．
(2)$\alpha$と$\beta$をそれぞれ$a$と$h$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle p=\lim_{h \to 0} \alpha$と$\displaystyle q=\lim_{h \to 0} \beta$とする．$p$と$q$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{E}$の座標を$(p,\ q)$とする．線分$\mathrm{AE}$の長さを最小にする$a$の値と，そのときの線分$\mathrm{AE}$の長さを求めよ．
私立 星薬科大学 2013年 第4問次の問に答えよ．
(1)不等式$16 \cdot 8^{-x}-48 \cdot 4^{-x}+32 \cdot 2^{-x}<0$を満たす$x$の値の範囲は$-[ ]<x<[ ]$である．
(2)$\log_a b+\log_b c+\log_c a=\log_a b \cdot \log_b c+\log_b c \cdot \log_c a+\log_c a \cdot \log_a b=3$が成り立つとき，$\displaystyle \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=[ ]$である．
(3)$\log_4 (x^4+2)-2 \log_4 2x$の最小値は$\displaystyle -\frac{[ ]}{[ ]}$である．
(1)不等式$16 \cdot 8^{-x}-48 \cdot 4^{-x}+32 \cdot 2^{-x}<0$を満たす$x$の値の範囲は$-[ ]<x<[ ]$である．
(2)$\log_a b+\log_b c+\log_c a=\log_a b \cdot \log_b c+\log_b c \cdot \log_c a+\log_c a \cdot \log_a b=3$が成り立つとき，$\displaystyle \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=[ ]$である．
(3)$\log_4 (x^4+2)-2 \log_4 2x$の最小値は$\displaystyle -\frac{[ ]}{[ ]}$である．
私立 久留米大学 2013年 第3問次の計算をしなさい．
\[ \int_0^1 2^{2x} \, dx=[$9$],\quad \int_1^2 2 \log_2 x \, dx=[$10$],\quad \int_0^{\frac{\pi}{24}} 16 \sin^2 x \, dx=[$11$] \]
\[ \int_0^1 2^{2x} \, dx=[$9$],\quad \int_1^2 2 \log_2 x \, dx=[$10$],\quad \int_0^{\frac{\pi}{24}} 16 \sin^2 x \, dx=[$11$] \]
私立 京都薬科大学 2013年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数を記入せよ．
(1)直線$(1-k)x+(1+k)y-k-3=0$は定数$k$の値によらず定点$\mathrm{A}$を通る．このとき，定点$\mathrm{A}$の座標は，$([ ],\ [ ])$である．また，中心が点$\mathrm{A}$で，直線$x+y=5$に接する円の半径は$[ ]$となる．
(2)空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ -3)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$において，線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}$の座標は，$([ ],\ [ ],\ [ ])$である．また，このとき，$\cos \angle \mathrm{AOC}=[ ]$となる．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$とする．また，$\angle \mathrm{BAC}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$となり，$\mathrm{BP}=[ ]$，$\mathrm{AP}=[ ]$となる．$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とすると，$r=[ ]$である．
(4)$4$つの数
$\log_2 (\log_4 (\log_8 16))$，$\log_4 (\log_8 (\log_2 16))$，$\log_8 (\log_2 (\log_4 16))$，$\log_2 (\log_8 (\log_4 16))$の大小を比較すると，$[ ]<[ ]<[ ]<[ ]$となる．
(1)直線$(1-k)x+(1+k)y-k-3=0$は定数$k$の値によらず定点$\mathrm{A}$を通る．このとき，定点$\mathrm{A}$の座標は，$([ ],\ [ ])$である．また，中心が点$\mathrm{A}$で，直線$x+y=5$に接する円の半径は$[ ]$となる．
(2)空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ -3)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$において，線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}$の座標は，$([ ],\ [ ],\ [ ])$である．また，このとき，$\cos \angle \mathrm{AOC}=[ ]$となる．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$とする．また，$\angle \mathrm{BAC}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$となり，$\mathrm{BP}=[ ]$，$\mathrm{AP}=[ ]$となる．$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とすると，$r=[ ]$である．
(4)$4$つの数
$\log_2 (\log_4 (\log_8 16))$，$\log_4 (\log_8 (\log_2 16))$，$\log_8 (\log_2 (\log_4 16))$，$\log_2 (\log_8 (\log_4 16))$の大小を比較すると，$[ ]<[ ]<[ ]<[ ]$となる．