次の空欄を適当に補え．

(1)$x$が$x^2+x+1=0$を満たすとする．このとき$2x^4-x^3-2x^2-4x+2$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)方程式$3^{2x+1}+2^3 \cdot 3^x-3=0$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$2$つの単位ベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$に対して，$2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$の大きさが$\sqrt{7}$のとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)$t>0$とする．$3$次関数$y=x^3-3x^2-9x+t$のグラフと$x$軸との共有点がただ$1$つのとき，定数$t$の値の範囲は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$\mathrm{A}$を含む男子$4$人と$\mathrm{B}$を含む女子$5$人が$1$列に並ぶ．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．また，男子が隣り合わない確率は$[$(\mathrm{f])$}$である．
(6)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2-3 \log (x+2)$の最小値は$[$(\mathrm{g])$}$である．

次の問に答えよ．

(1)方程式
\[ \log_2 (x-1)+\log_4 (x+4)=1 \]
を解け．
(2)赤玉$2$個と白玉$2$個が入っている袋から，玉を次々に取り出していく．赤玉が$2$個出てくるまでに取り出す玉の個数の期待値を求めよ．ただし，取り出した玉は袋に戻さないものとする．

次の$[　]$にあてはまる答を記せ．ただし，$(5)$において，必要ならば$\log_{10}2=0.3010$を用いてよい．

(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[　] \overrightarrow{a}-[　] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[　]$である．

(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[　]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[　]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[　]$，$y=[　]$において最大値$[　]$をとり，$x=[　]$，$y=[　]$において最小値$[　]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．

(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[　]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[　]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[　]$である．

(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[　]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[　]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$(a^{\frac{1}{2}} \times a^4 \div a^2)^6 \div a^2=a^{[][]}$
(2)$\log_49 \cdot \log_3125 \cdot \log_516=[][]$
(3)方程式$\displaystyle \left( \frac{1}{4} \right)^{2x} \times 8^{1-x}=16^{x+1}$の解は，$\displaystyle x=-\frac{1}{[][]}$である．
(4)不等式$\log_2 (x-10)<\log_2(x-3)-3$の解は，$[][]<x<[][]$である．

$\log$は自然対数とし，関数$f(x)$を$f(x)=\log (2+\cos x) (-\pi \leqq x \leqq \pi)$とおく．次の問に答えよ．

(1)関数$y=2+\cos x$と$y=\log x$を微分せよ．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．

以下の問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log (x+1)}{\log x} (x>1)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．

(2)次の不等式を証明せよ．
\[ \log_32<\log_43<\log_54<\log_65<\log_76<\log_87<\log_98<\log_{10}9 \]

次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=x^3+3ax^2+3(10-3a)x$が極値をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)曲線$y=e^x-2$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\cos x) \log (\sin x) \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．

次の問に答えよ．



(1)関数$y=\cos^2 x$のグラフの$\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$である点における接線の方程式を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^4 x \log (x+1) \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数とする．
(3)$\displaystyle \int_a^1 \left( \frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3} \right) \, dx=0$を満たす正の定数$a$をすべて求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)関数$f(x)=8 \cos 2x+9 \tan^2 x$は，$\displaystyle f(x)=[アイ] \cos^2 x+\frac{[ウ]}{\cos^2 x}-[エオ]$と変形できる．$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]} \pi$のとき最小値$[ク]$をとる．
(2)$x$の不等式$\log_a(x+1)^2>\log_a \{9(x+5)\}$の解は，$a>1$のとき，$[ケコ]<x<[サシ]$，$[スセ]<x$であり，$0<a<1$のときは，$[サシ]<x<[ソタ]$，$[ソタ]<x<[スセ]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)$216^{\frac{1}{3}}$の値を求めなさい．
(2)$\displaystyle \log_3 3 \sqrt{5}+0.5 \log_3 \frac{9}{5}$を簡単にしなさい．
(3)関数$y=3 x^3+4x^2+5$を微分しなさい．
(4)次の不定積分を求めなさい．
\[ \int (-x^2+4x+3) \, dx \]