つぎの方程式を解きなさい．
\[ \log_{64}(x+1)+\log_8 (2-x)=\log_4 x \]

次の問いに答えなさい．

(1)曲線$y=\log (1-x^2)$上のある点における接線の傾きが$-\sqrt{3}$のとき，その点の$x$座標を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{a}=(3^x,\ 3^{-x})$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0)$とする．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとき，$x$の値を求めなさい．
(3)方程式$\displaystyle \cos \left( x+\frac{\pi}{6} \right)+\sin x=0$を解きなさい．

次の設問に答えよ．

(1)方程式$2^x8^x=4^{15}$を解け．
(2)方程式$\log_2 4+\log_2 x=0$を解け．
(3)不等式$\log_2 2x+\log_2 (x-7)<2 \log_2 (x-3)$を解け．

$2$次方程式$x^2+(\log_2 n)x+\log_3n=0$が実数解をもたない自然数$n$をすべて求めよ．ただし，$\log_23=1.58$，$\log_25=2.32$とする．

関数$\displaystyle f(x)=2(\log_2 \frac{x}{2})(\log_4 \frac{x}{8})+3 (1 \leqq x \leqq 8)$について，$t=\log_2x$とおく．

(1)$t$のとり得る値の範囲は$[ス] \leqq t \leqq [セ]$である．
(2)$f(x)=t^2-[ソ]t+[タ]$である．
(3)関数$f(x)$は$t=[チ]$，すなわち$x=[ツ]$のとき最大値$[テ]$をとり，$t=[ト]$，すなわち$x=[ナ]$のとき最小値$[ニ]$をとる．

方程式$2 \log_2 |x-4|+\log_2(x+8)=a$を考える．$a$は定数である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)この方程式が解$x=0$をもつとき$a=[ア]$である．
(2)$a=3+\log_25$のとき，この方程式の解$x$は
\[ x=[イ],\quad [ウエ] \pm [オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(3)この方程式の解$x$の個数がちょうど$2$個となるとき$a$の値は$a=[キ]$である．また，このときの解$x$は$x=[クケ]$，$[コ]$である．また$a=5 \log_23$のとき，この方程式の解$x$の個数はちょうど$[サ]$個である．

次の各設問に答えよ．

(1)連立方程式

$\log_5 |x-7|+\log_5(20-y)=2$
$\log_{\frac{1}{3}}(5x+y-32)=-1$

を満たす実数$x,\ y$は，$x=[ア]$，$y=[イウ]$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の初項から第$n$項までの和が$37n^2+15n$のとき一般項は
\[ a_n=[エオ](n-1)+[カキ] \]
であり，$a_n$が$2000$より大きくなるのは第$[クケ]$項からである．

次の空欄$[　]$を適当に補え．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AC}=7$，$\mathrm{AB}=3$，$\angle \mathrm{BAC}=120^\circ$のとき，$\mathrm{BC}=[ア]$である．
(2)方程式$3 \log_8x+\log_2(x-8)=7$を解くと，$x=[イ]$である．
(3)$3+i$をかけると$1+17i$となる複素数を，$a+bi$の形で表すと$[ウ]$である．ただし，$a,\ b$は実数，$i$は虚数単位である．
(4)$1$つのサイコロを$6$回投げて，$1$の目と$2$の目がそれぞれちょうど$2$回ずつ出る確率は$\displaystyle [エ]$である．

次の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}=(x,\ 11,\ 2y)$，$\overrightarrow{b}=(x-4,\ 2,\ y-6)$を考える．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が平行であるとき，$x=[　]$であり，$y=[　]$である．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が垂直であるとき，$x=[　]$であり，$y=[　]$である．
(2)方程式$\log_2(x^2+4)-\log_2x=2$を解くと，$x=[　]$である．また，不等式$\log_2(x^2+4)-\log_2x \geqq \log_25$を解くと，$[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$2012$年の$1$年間にある県を訪れた観光客の数は，前年$1$年間に比べて$8 \; \%$増加したという．今後も同じ割合で観光客の数が増えていくとした場合，初めて観光客の数が$2012$年の$2$倍以上になるのは何年後か．答えを整数で求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)下の図のような道がある．地点$\mathrm{A}$を出発して，さいころを投げて$5$以上の目が出れば上に$1$区画進み，$4$以下の目が出れば右に$1$区画進むことにする．ただし，進む道がないときは動かない．さいころを$7$回投げるとき，次の確率を求めよ．

(i) 地点$\mathrm{B}$に行き着く確率
(ii) 地点$\mathrm{C}$を経由して地点$\mathrm{B}$に行き着く確率
（図は省略）