以下の問いに答えよ．

(1)大中小$3$個のサイコロを同時に投げる．大中小それぞれのサイコロの目を$x,\ y,\ z$とするとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$となる確率を求めよ．
(2)正の実数$x$に対して定義された関数$y=2(\log_5 5x)^2+\log_5 (5x)^2+2 \log_5 x+2$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)大中小$3$個のサイコロを同時に投げる．大中小それぞれのサイコロの目を$x,\ y,\ z$とするとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$となる確率を求めよ．
(2)正の実数$x$に対して定義された関数$y=2(\log_5 5x)^2+\log_5 (5x)^2+2 \log_5 x+2$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)実数$a$に対して，$2$つの関数
\[ f(x)=x^2+4ax+8,\quad g(x)=-x^2+(2a-2)x-10 \]
を考える．このとき，$g(x) \geqq f(x)$となる$x$が存在するような$a$の値の範囲は$[ア]$である．また，$f(x)$の最小値が$g(x)$の最大値より大きくなるような$a$の値の範囲は$[イ]$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$x=\sin \theta+\cos \theta$のとりうる値の範囲は$[ウ]$であり，$y=\sin 2\theta+2(\sin \theta+\cos \theta)$のとりうる値の範囲は$[エ]$である．
(3)以下の$4$つの数のうち，$1$番大きな数は$[オ]$であり，$1$番小さな数は$[カ]$である．
\[ 7^{777},\quad 10^{7 \log_{10}7},\quad 7^{(7^7)},\quad 7777777 \]
(4)$r$を正の実数とする．円$x^2+(y-1)^2=r^2$と曲線$y=x^2$が$x>0$の範囲に異なる$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもつような$r$の値の範囲は$[キ]$である．さらに，この$r$の範囲で$\displaystyle \mathrm{PQ}=\frac{\sqrt{5}}{2}$が成り立つ$r$の値は$r=[ク]$である．

次の各問に答えよ．

(1)双曲線$\displaystyle H:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$について，次の問に答えよ．

(i) 双曲線$H$の焦点の座標を求めよ．
(ii) 双曲線$H$について正の傾きをもつ漸近線の方程式を求めよ．
(iii) $(ⅱ)$で求めた漸近線と直交する直線が$H$と接するとき，その接点の座標を求めよ．

(2)不等式$9a>b,\ \log_ab>\log_ba^4+3$をすべて満たす整数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)直線$x-y+2=0$を$\ell$とし，直線$x+y-3=0$を$m$とする．$1$次変換$f$によって，直線$\ell$は$m$に移り，また直線$m$は$\ell$に移る．このとき，次の問に答えよ．

(i) $1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(ii) $A^{2013}$を求めよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$\displaystyle x+y=6,\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}$のとき，$(x-2)(y-2)=[ア]$であり，$x^2+y^2=[イ]$である．
(2)$32$の正の約数の数は$[ウ]$個，$288$の正の約数の数は$[エ]$個である．
(3)$\displaystyle \cos \theta-\sin \theta=\frac{1}{2} (0<\theta<\frac{\pi}{4})$のとき，$\sin 2\theta=[オ]$であり，$\sin 4\theta=[カ]$である．
(4)$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とするとき，$2^{50}$は$[キ]$桁，$3^{80}$は$[ク]$桁の整数である．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$3$次方程式$x^3+(a+4)x^2+(4a+5)x+20=0$の$1$つの解が$1+2i$であるとき，実数$a=[ア]$であり，$1$つある実数解は$[イ]$である．
(2)$\log_{10}2=0.301$とするとき，$\log_25$の値を小数点$4$桁以下を切り捨て，小数点$3$桁まで求めると$[ウ]$となる．また，$2^n$が$10$桁の数となる最大の自然数$n$は$[エ]$である．

$a>0$とする．曲線$C:y=a \sqrt{x}-\log x (x>0)$が$x$軸に接するとするとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)曲線$C$と直線$x=1$および$x$軸によって囲まれる部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=x(\log x)^2 (x>0)$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)この関数の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，増減表を書け．
(2)曲線$y=f(x)$と変曲点における接線，および直線$x=1$によって囲まれる部分の面積を求めよ．

$x$に関する方程式$3 \log_x 5+2 \log_5 x=7$を解くと$x=[　]$である．また，すべての実数$x$に対して，不等式$x^2 \log_23+2x \log_2a+\log_23 \geqq x^2+2x+1$が成立するとき，$a$のとりうる値の範囲は$[　]$である．

以下の問に答えよ．

(1)方程式$\displaystyle \log_2 (x+2)-\log_4 x=\frac{3}{2}$の解は，$x=[テ]$である．
(2)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_7 (x+y)^x=4(x-y) \\
\log_7 (x+y)^y=3(x-y)
\end{array} \right. \]
の解は，$\displaystyle x=\frac{[ト]}{[ナ]},\ y=\frac{[ニ]}{[ヌ]}$または，$x=[ネ],\ y=[ノ]$である．