「対数」について
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公立 岐阜薬科大学 2014年 第6問曲線$y=\log (kx)$を$C$とする．曲線$C$，原点$\mathrm{O}$を通る曲線$C$の接線$\ell$，$x$軸とで囲まれた図形を$D$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は正の定数とする．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_x$を求めよ．
(3)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_y$を求めよ．
(4)$V_x=V_y$となる$k$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_x$を求めよ．
(3)$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V_y$を求めよ．
(4)$V_x=V_y$となる$k$の値を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2014年 第3問互いに異なる$2$つの正の実数$a,\ b$をそれぞれ底とする$2$つの対数関数を考え，これらのグラフ$C_a:y=\log_ax$，および，$C_b:y=\log_bx$を図に示した．また，図中の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{T}$はそれぞれ，直線$x=t (t>0,\ t \neq 1)$と$C_a$，$C_b$，および$x$軸との交点である．$t=a$のとき，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}=3:2$であった．次の問に答えなさい．
（図は省略）
(1)$a,\ b,\ 1$それぞれの間に成り立つ大小関係を調べなさい．
(2)条件$t \neq 1$，$t>0$を満たす任意の実数$t$に対して定まる$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{T}$について，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}$を求めなさい．
(3)図中の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は各々$C_a$，$C_b$上の点であり，各々の$y$座標は互いに等しく，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$8$である．このとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標$u$の値を求めなさい．
（図は省略）
(1)$a,\ b,\ 1$それぞれの間に成り立つ大小関係を調べなさい．
(2)条件$t \neq 1$，$t>0$を満たす任意の実数$t$に対して定まる$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{T}$について，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}$を求めなさい．
(3)図中の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は各々$C_a$，$C_b$上の点であり，各々の$y$座標は互いに等しく，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$8$である．このとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標$u$の値を求めなさい．
公立 広島市立大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の関数の導関数を求めよ．
(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+x+x^2}$
(ii) $y=(x^2+2x)e^{-x}$
(2)次の不定積分を求めよ．
(i) $\displaystyle \int x^2 \log x \, dx$
(ii) $\displaystyle \int \frac{\cos x}{\cos^2 x+2 \sin x-2} \, dx$
(3)$x>0$とする．無限等比級数
\[ 1+\log x+(\log x)^2+\cdots +(\log x)^n+\cdots \]
が収束するような$x$の値の範囲を求めよ．
(1)次の関数の導関数を求めよ．
(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+x+x^2}$
(ii) $y=(x^2+2x)e^{-x}$
(2)次の不定積分を求めよ．
(i) $\displaystyle \int x^2 \log x \, dx$
(ii) $\displaystyle \int \frac{\cos x}{\cos^2 x+2 \sin x-2} \, dx$
(3)$x>0$とする．無限等比級数
\[ 1+\log x+(\log x)^2+\cdots +(\log x)^n+\cdots \]
が収束するような$x$の値の範囲を求めよ．
公立 横浜市立大学 2014年 第3問$a$を正の実数とする．放物線$y^2=4ax$上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と$\mathrm{A}(x_1,\ y_1)$をとる．$y_1>0$として，以下の問いに答えよ．
(1)$\alpha>0$として，関数$F(t)$を
\[ F(t)=\frac{1}{2} \{t \sqrt{t^2+\alpha}+\alpha \log (t+\sqrt{t^2+\alpha}) \} \]
とおく．導関数$F^\prime(t)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}$までの曲線の長さ$L$を$x_1$の関数として表せ．ただし，$x=0$で値が発散する関数$g(x)$については
\[ \int_0^a g(x) \, dx=\lim_{s \to +0} \int_s^a g(x) \, dx \]
と解釈する（$a>s>0$）．
(1)$\alpha>0$として，関数$F(t)$を
\[ F(t)=\frac{1}{2} \{t \sqrt{t^2+\alpha}+\alpha \log (t+\sqrt{t^2+\alpha}) \} \]
とおく．導関数$F^\prime(t)$を求めよ．
(2)点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{A}$までの曲線の長さ$L$を$x_1$の関数として表せ．ただし，$x=0$で値が発散する関数$g(x)$については
\[ \int_0^a g(x) \, dx=\lim_{s \to +0} \int_s^a g(x) \, dx \]
と解釈する（$a>s>0$）．
公立 奈良県立医科大学 2014年 第1問$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．このとき，$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right)^{50}$は小数第何位に初めて$0$でない数字が現れるか．
公立 名古屋市立大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)方程式$\log_3 (x-1)+\log_9 (x+9)-1=0$を解け．
(2)$1$辺の長さが$1$の正方形の紙から右図のように高さが$x$の合同な$4$枚の二等辺三角形を切りとって除き，四角錐の展開図を作る．その展開図を折り曲げて作られる四角錐の体積$V$が最大となる$x$と，その時の体積$V$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(1)方程式$\log_3 (x-1)+\log_9 (x+9)-1=0$を解け．
(2)$1$辺の長さが$1$の正方形の紙から右図のように高さが$x$の合同な$4$枚の二等辺三角形を切りとって除き，四角錐の展開図を作る．その展開図を折り曲げて作られる四角錐の体積$V$が最大となる$x$と，その時の体積$V$の最大値を求めよ．
（図は省略）
公立 会津大学 2014年 第1問次の空欄をうめよ．
(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(i) $\displaystyle \int \frac{dx}{x(\log x)^2}=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_{6\pi}^{7\pi} x \sin x \, dx=[ロ]$
(iii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \cos x \, dx=[ハ]$
(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n(n+3)}-n)=[ニ] \]
(3)$3^x=5^y=15^{6}$をみたす実数$x,\ y$について，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[ホ]$である．
(4)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$からの距離の比が$1:2$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を表す曲線の方程式は$[ヘ]$である．
(5)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 3,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ -2)$の両方に垂直で，大きさが$1$であるベクトルは$[ト]$と$[チ]$である．
(1)次の積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(i) $\displaystyle \int \frac{dx}{x(\log x)^2}=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_{6\pi}^{7\pi} x \sin x \, dx=[ロ]$
(iii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \cos x \, dx=[ハ]$
(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n(n+3)}-n)=[ニ] \]
(3)$3^x=5^y=15^{6}$をみたす実数$x,\ y$について，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[ホ]$である．
(4)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$からの距離の比が$1:2$である点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を表す曲線の方程式は$[ヘ]$である．
(5)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 3,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ -2)$の両方に垂直で，大きさが$1$であるベクトルは$[ト]$と$[チ]$である．
公立 北九州市立大学 2014年 第3問$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．以下の問題に答えよ．
(1)$\log_{10}9$の値を求めよ．
(2)${10}^{187} \leqq 9^k<10^{188}$を満たす整数$k$をすべて求めよ．
(3)$9^{104}$は何桁の整数か答えよ．
(4)$9^{104}$の一の位の数字を求めよ．
(5)$9^{104}$の最高位の数字を求めよ．
(1)$\log_{10}9$の値を求めよ．
(2)${10}^{187} \leqq 9^k<10^{188}$を満たす整数$k$をすべて求めよ．
(3)$9^{104}$は何桁の整数か答えよ．
(4)$9^{104}$の一の位の数字を求めよ．
(5)$9^{104}$の最高位の数字を求めよ．
公立 高崎経済大学 2014年 第4問数列$1,\ 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 4,\ 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 1,\ 2,\ \cdots$の第$n$項を$a_n$とする．以下の各問に答えよ．
(1)$a_{50}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{50} a_k$を求めよ．
(3)$a_m-a_{m+1}>99999$を満たす最小の自然数$m$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(1)$a_{50}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{50} a_k$を求めよ．
(3)$a_m-a_{m+1}>99999$を満たす最小の自然数$m$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
公立 県立広島大学 2014年 第3問初項$3$，公比$2$の等比数列を$\{a_n\}$とし，
\[ S_n=\sum_{i=1}^n (\log_{a_i}2) \cdot (\log_{a_{i+1}}2) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$が$x$についての恒等式になる定数$A,\ B$を求めよ．
(3)$S_n<\log_32$となることを示せ．
(4)$\displaystyle |S_n-\log_32|<\frac{1}{1000}$となる最小の$n$を求めよ．
\[ S_n=\sum_{i=1}^n (\log_{a_i}2) \cdot (\log_{a_{i+1}}2) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
とする．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$が$x$についての恒等式になる定数$A,\ B$を求めよ．
(3)$S_n<\log_32$となることを示せ．
(4)$\displaystyle |S_n-\log_32|<\frac{1}{1000}$となる最小の$n$を求めよ．