$t$の関数$f(t)$を
\[ f(t)=-\frac{1}{2}(\log_2 t)^3+21(\log_4 t)^2-9 \log_4 t^2+1 \]
とおく．このとき以下の問いに答えなさい．

(1)$x=\log_2 t$とおくとき，
\[ f(t)=-\frac{[ア]}{[イ]}x^3+\frac{[ウエ]}{[オ]}x^2-[カ]x+1 \]
である．
(2)変数$t$が$1 \leqq t \leqq 256$の範囲を動くとき，$f(t)$は$t=[キク]$のとき最大値$[ケコ]$をとり，$t=[サ]$のとき最小値$\displaystyle -\frac{[シス]}{[セ]}$をとる．

$f(x)=xe^{-x}$，$t>1$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)曲線$y=f(x)$と直線$\displaystyle y=\frac{x}{t}$のすべての交点の座標を求めなさい．
(2)$(1)$のような$y=f(x)$と$\displaystyle y=\frac{x}{t}$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めなさい．
(3)$t$が$1$より大きい実数全体を動くとき，関数$\displaystyle g(t)=\frac{t}{\log t}(1-S(t))$の最小値を求めなさい．

$2$次正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$についての条件
\[ (*) a=d \text{かつ} b=-c \]
を考える．$(*)$を満たす$M$に対して，実数$f(M)$を$f(M)=\sqrt{a^2+b^2}$と定める．以下の問いに答えなさい．

(1)$2$次正方行列$A,\ B$がともに$(*)$を満たすならば，積$AB$も$(*)$を満たすことを証明しなさい．
(2)$2$次正方行列$A,\ B$がともに$(*)$を満たすならば，$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを証明しなさい．
(3)$A=16 \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1
\end{array} \right)$に対して$f(A^n)$が十進法で$10$けた以上となる自然数$n$のうち最小のものを求めなさい．ただし，本問においては$\log_{10}2=0.301$とする．

次の問いに答えよ．

(1)体積が$V$，表面積が$S$，底面の半径が$r$の円柱を考える．

(i) $S$を$V$と$r$で表せ．
(ii) $V$の値を一定にするとき，$S$の最小値とそれを与える$r$の値を求めよ．

(2)$x>0$のとき$\displaystyle \log (1+x)>x-\frac{x^2}{2}$であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)次の文章の$[　]$に適する答えを記入せよ．
次のように$1$から$5$までの数字が書かれたカードを用意する．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \]
それに次のように$4$の数字が書かれたカードを$1$枚加える．
\[ \fbox{ $1$ } \quad \fbox{ $2$ } \quad \fbox{ $3$ } \quad \fbox{ $4$ } \quad \fbox{ $5$ } \quad \fbox{ $4$ } \]
この$6$枚のカードを$1$列に並べて$6$桁の整数をつくる．このとき，つくられる相異なる整数の場合の数は$[$①$]$であり，その中で$5$の倍数となる相異なる整数の場合の数は$[$②$]$である．次に，この$6$枚のカードに$0$と書かれたカードを加えて$7$枚のカードにし，この$7$枚のカードを$1$列に並べる．左端に$0$以外のカードが来ることによって$7$桁の相異なる整数になる場合の数は$[$③$]$である．その中で，$1$のカードと$2$のカードが隣りあう相異なる整数の場合の数は$[$④$]$である．
(2)次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
\[ \int x \log (1+x) \, dx \]

$a$を正の実数とする．$x$の方程式$\{ \log (x^2+a) \}^2+\log a=1$の異なる実数解の個数を，$a$の値によって場合分けして求めよ．ただし，対数は自然対数であるとする．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 3-\sqrt{5}+\frac{m}{3-\sqrt{5}}=n$をみたす整数$m$と$n$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle F(x)=\sum_{k=1}^{12} \{ \log (e^{2k}x^2+e^{-2k})-\log (e^{-2k}x^2+e^{2k}) \}$とおくとき，$\displaystyle \alpha=\lim_{x \to \infty} F(x)$と$\displaystyle \beta=\lim_{x \to 0} F(x)$の値を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(3)$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$が$f(0)=-6$，$g(0)=2$，$g(x)>0$，$g^\prime(x)=f^\prime(x)+4x+3$，$\displaystyle f^\prime(x)=\frac{f(x)g^\prime(x)}{g(x)}-2xg(x)$をみたすとき，$\displaystyle g(x)=\frac{ax}{x^2+4}+b$となる定数$a$と$b$を求めよ．ただし，$f^\prime(x)$と$g^\prime(x)$はそれぞれ$f(x)$と$g(x)$の導関数である．

$f(x)=\log x$，$g(x)=(\log x)^2$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$と関数$y=g(x)$のグラフを$1$つの座標平面上にかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$とする．

(1)関数$g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．
(2)二つの曲線$y=f(x)$と$y=1-f(x)$で囲まれる図形の面積を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=2x+\frac{10}{x}-\log x$に対して$a_n=f(n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列$\{a_n\}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)$を求めよ．
(2)$a_n$が最小となる$n$を求めよ．