$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，曲線$C_1:y=\log x+\log t$と曲線$C_2:y=ax^2$を考える．ただし$a$と$t$は正の実数である．曲線$C_1$と$C_2$は共有点$\mathrm{P}$を持ち，また，$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線が一致するものとする．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0,\ a,\ t$の間に成立する関係式を書け．
(2)$x_0$と$a$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$における$C_2$の法線を$\ell$とする．また，$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$，$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$\triangle \mathrm{OQR}$の面積$S(t)$を求め，また，$S(t)$を最小とする$t$の値を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた値のとき，曲線$C_1$，$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=(\log x)^2+\frac{3}{4} (x>0)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{dy}{dx},\ \frac{d^2y}{dx^2}$を求めよ．また，$\displaystyle \frac{dy}{dx}>0$となる$x$の範囲を求めよ．
(2)曲線$C$の接線で原点$(0,\ 0)$を通るものを求めよ．
(3)曲線$C$の概形と$(2)$で求めた接線を描け．
(4)$(2)$で求めた接線の中で傾きが最大のものと曲線$C$との接点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(5)$(4)$で求めた点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

実数$x$に対し
\[ f(x)=e^{3x}+e^{-3x},\qquad g(x)=e^{3x}-e^{-3x} \]
で定義される$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$および$\displaystyle h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$で与えられる関数$h(x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x),\ g(x)$は
\[ \frac{d}{dx}f(x)=[ア] g(x),\qquad \frac{d}{dx}g(x)=[イ] f(x) \]
という関係を満たす．また，関数$h(x)$に対して
\[ h(0)=[ウ], \lim_{x \to \infty} h(x)=[エ], \lim_{x \to -\infty} h(x)=[オカ], \frac{d}{dx}h(x)=\frac{[キク]}{(f(x))^2} \]
が成り立つ．
(2)$x$座標が$\displaystyle a=\frac{1}{3} \log_e 2$である点$(a,\ h(a))$における，曲線$y=h(x)$の接線を$C$とする．接線$C$と直線$y=[エ]$の交点の$x$座標を$b$とすると，$\displaystyle b-a=\frac{[ケ]}{[コサ]}$となる．

(3)$x \geqq a$の領域において，接線$C$，曲線$y=h(x)$，直線$y=[エ]$および直線$x=t (>b)$で囲まれた図形の面積を$S(t)$とすると，
\[ \lim_{t \to \infty} S(t)=\frac{[シス]}{[セソ]}+\frac{1}{[タ]} \log_e \frac{[チ]}{[ツ]} \]
が成り立つ．

次の文中の$[ア]$～$[ヒ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

(1)複素数$z=-1+i$を考える．ここで，$i$は虚数単位である．このとき，
\[ z+z^2+z^3+z^4=[ア]+[イ]i \]
である．また，
\[ \sum_{n=1}^{12} z^n=[ウ][エ]+[オ][カ] i \]
となる．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲における関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1}{3} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos^2 \theta-\frac{2}{3}$の最小値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である．

(3)循環小数$0. \dot{2}01 \dot{4}$を分数で表すと，
\[ 0. \dot{2}01 \dot{4}=\frac{\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}}{\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}} \]
となる．
(4)平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MO}}=\frac{[テ]}{[ト]} \overrightarrow{\mathrm{MA}} \]
を満たす点$\mathrm{O}$を中心とする半径
\[ \frac{[ナ]}{[ニ]} |\overrightarrow{\mathrm{MA}}| \]
の円である．
(5)同じ大きさの赤玉と白玉が何個か袋に入っている．よくかきまぜた後，この袋の中から同時に$2$個の玉を取り出したとき，$2$個とも赤の確率を$p$，$2$個のうち$1$個が赤，$1$個が白の確率を$q$，$2$個とも白の確率を$r$と書くとすると，それらの比例関係は次のようになった．
\[ p:q:r=14:20:5 \]
この袋の中の赤玉の個数は$[ヌ]$，白玉の個数は$[ネ]$である．
(6)$a,\ b,\ c$は次の方程式を満たす整数とする．
\[ a \log_{10} \frac{5}{6}+b \log_{10} 15+c \log_{10} \frac{10}{9}=\log_{10} 5000 \]
このとき，$a=[ノ]$，$b=[ハ]$，$c=[ヒ]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)$a$を正の定数とし，$x$についての$2$つの不等式
$\log_3 (x+2a)+\log_3 (x+3a)<\log_3 10ax \cdots\cdots①$
$\log_3 (3x-4)+\log_3 (3x+2)<2 \log_9 (6x-5)+1 \cdots\cdots②$
を考える．
$①$の解は
\[ [ア]a<x<[イ]a \]
である．
$②$の解は
\[ \frac{[ウ]}{[エ]}<x<\frac{[オ]}{[カ]} \]
である．
$①,\ ②$をともに満たす実数$x$が存在するとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ \frac{[キ]}{[ク]}<a<\frac{[ケ]}{[コ]} \]
である．
(2)放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{2}x^2$上に$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$p,\ q$としたとき，$p,\ q$は$q<p$を満たす整数で，$p>0$，$p+q$は正の偶数とする．
また，点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線を$\ell$，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とし，直線$\ell,\ m$が$x$軸の正の向きとなす角をそれぞれ$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2} \right)$，$2$直線$\ell,\ m$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．
$p=5,\ q=1$のとき
\[ \tan \alpha=[サ],\quad \tan \beta=[シ] \]
であり
\[ \tan \theta=\frac{1}{[ス]} \]
である．
また，$\displaystyle \tan \theta=\frac{1}{7}$を満たす整数$p,\ q$の組$(p,\ q)$をすべてあげると，
\[ (p,\ q)=([セ],\ [ソ]),\ ([タチ],\ [ツテ]),\ ([トナ],\ [ニヌネ]) \]
である．ただし，$[セ]<[タチ]<[トナ]$とする．

あるバスケットボールの選手のシュートがゴールに入る確率が$\displaystyle \frac{7}{12}$であるとする．この選手が$n$回シュートをするとき，次の問いに答えよ．

(1)$1$回もゴールに入らない確率はいくらか．
(2)少なくとも$1$回はゴールに入る確率が$0.98$より大きくなるのはシュートの回数$n$がいくら以上のときか．ただし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．

不等式$(\log_2 x)^2-\log_4 x^8+3 \leqq 0$を解け．

$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$2$人が$n$個（$n \geqq 2$）の計画案から$1$つを選び出す．これに要する時間$T_n$は，
\[ T_n=a+b \log_2 (n+1) \]
で表される．ただし，$a,\ b$は$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$とで異なる定数である．$\log_23=1.585$として，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$が$2$個の計画案から$1$つを選び出すときに要した時間は$T_2=850$秒，$3$個の計画案から$1$つを選び出すときに要した時間は$T_3=1016$秒であった．$\mathrm{P}$の定数$a,\ b$を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が$5$個の計画案から$1$つを選び出すときに要する時間を求めよ．
(3)$\mathrm{Q}$の定数は$a=300$，$b=360$である．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$がそれぞれ$8$個の計画案から$1$つを選び出すとき，どちらが何秒早く選び出すことができるか．

次の問に答えよ．

(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{{125}^{x^2}}>5^{20-17x}$を満たす$x$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}<x<[$34$]$である．また，$x$がこの値の範囲内で方程式$\displaystyle \frac{x^{16}}{256}=x^{8 \log_2 x}$を満たすとき，$x$の値は$x=[$35$]$となる．
(2)$k$を定数として，$x$の方程式$2^{3x}-2^{2(x+1)}+2^{x+2}+2^x-3=k$の解が$1$つの実数解のみであるとき，$k$がとりえる値の範囲は
\[ -[$36$]<k<-\frac{[$37$][$38$]}{[$39$][$40$]},\quad -[$41$]<k \]
である．

次の問いに答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)不等式
\[ 1+\frac{1}{\log_2 x}-\frac{3}{\log_3 x}<0 \]
を解くと，
\[ [タ]<x<\frac{[チツ]}{[テ]} \]
である．
(2)関数$f(x)=8^x+8^{-x}-5(4^x+4^{-x})+6(2^x+2^{-x})$がある．ただし，$x$は全ての実数を動く．

(i) $2^x+2^{-x}=t$とおくとき，$t$の取り得る値の範囲は$t \geqq [$*$ ト]$である．
(ii) $4^x+4^{-x}$，$8^x+8^{-x}$を$t$の式で表すと
\[ 4^x+4^{-x}=t^2+[$* ナ$],\quad 8^x+8^{-x}=t^3+[$* ニ$]t \]
である．
(iii) $f(x)$を$t$の式で表すと，$f(x)=t^3+[$*$ ス]t^2+[$*$ ネ]t+[$*$ ノハ]$である．
\mon[$\tokeishi$] $f(x)$の最小値は$[$*$ ヒ]$である．