次の計算をしなさい．
\[ \int_0^1 \log (\sqrt{x}+1) \, dx=[$19$],\quad \int_0^1 \left\{ \sqrt{2x-x^2}+\sin \left( x-\frac{1}{2} \right) \right\} \, dx=[$20$] \]

次の各問に答えよ．

(1)$1$から$8$までの数字を$1$つずつ記した$8$個の球が袋の中に入っている．この袋から$1$個の球を取り出し，その数字を読み取ってはもとの袋に戻す操作を$3$回繰り返す．ただし，どの球が選ばれる確率も同じであるとする．いま，読み取った$3$個の数字のうち最大の数と最小の数の差を$R$とする．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $R=1$となる確率を求めよ．
$(1$-$2)$ $R=4$となる確率を求めよ．
$(1$-$3)$ $R$の期待値を求めよ．
(2)$x$についての$2$次方程式$x^2+(\log_a 5)x+\log_5 a^2=0$が相異なる負の解をもつための定数$a$のとるべき値の範囲を求めよ．
(3)行列$A$を$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array} \right)$とし，さらに，$A^2=B$および$B^2=A$を満たす行列$B$が存在するとする．ただし$a,\ b$は実数で，$b>0$とする．次の問に答えよ．
$(3$-$1)$ 行列$A^3$を求めよ．
$(3$-$2)$ $a,\ b$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$3x(3x+1)=6 \times 7$であるとき，$x$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-2}-\frac{2}{\sqrt{3}+2}$を計算せよ．
(3)$3 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を$2 \, \%$の食塩水にするには，水を何$\mathrm{g}$加えれば良いか答えよ．
(4)方程式$4 \cos^2 \theta+4 \sin \theta-5=0$を解け．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {90}^\circ$とする．
(5)方程式$(\log_2 x)^2-2 \log_4 x^5+6=0$を解け．

数列$\{a_n\}$が$a_1=4$および$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{{a_{n}}^3}=1$，数列$\{b_n\}$が$b_n=\log_2 a_n$で与えられるとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$に関する漸化式を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{8} \right) \div 0.25$を計算せよ．
(2)$200$以下の自然数のうち，$3$の倍数でも$7$の倍数でもないものはいくつあるか答えよ．
(3)ある縮尺の地図上で，たて$x \, \mathrm{cm}$，よこ$y \, \mathrm{cm}$で表される長方形の土地がある．この土地の実際の面積が$z \, \mathrm{m}^2$のとき，この地図の縮尺を求めよ．
(4)$(\log_3 6-1)(\log_2 6-1)$を計算せよ．
(5)$(3x-yi)^2=2i$を満たす実数$x,\ y$を求めよ．ただし，$i^2=-1$である．

$x,\ y$は正の値をとる変数で，$x+y=a$（$a$は定数）を満たす．$\displaystyle z=\log_2 \frac{1}{x}+\log_\frac{1}{2}y$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$z$を$x$と$y$の積$xy$を用いて表せ．
(2)$z$の最小値を$a$を用いて表せ．
(3)$x+y=a$を満たす全ての正の数$x,\ y$に対して，$z>0$であるとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

つぎの$[　]$にあてはまる答を記せ．

(1)空間に$4$点$\mathrm{A}(5,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 4,\ 3)$，$\mathrm{C}(2,\ 3,\ 5)$，$\mathrm{D}(4,\ 1,\ 3)$がある．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{DA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$のなす角を$\theta$とおくとき，$\theta=[ア]$である．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(ii) 四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[イ]$である．

(2)$a$を実数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2-2x \log_2 \{(a+1)(a-5)\}+4=0$の解の$1$つが$2$であるとき，$a$の値は$[ウ]$である．また，この$2$次方程式が実数解をもたないような$a$の値の範囲は$[エ]$である．
(3)不等式$\displaystyle x^2+2x \leqq y \leqq 2x+2 \leqq \frac{4}{3}y$の表す領域の面積は$[オ]$である．また，この領域上の点$(x,\ y)$のうち，$5x-3y$が最小となるような点の座標は$[カ]$である．
(4)$n$は正の整数とする．階段を$1$度に$1$段，$2$段または$3$段登る．このとき，$n$段からなる階段の登り方の総数を$a_n$とする．例えば，$a_1=1$であり，$a_2=2$である．

(i) $a_3$の値は$[キ]$である．
(ii) $a_4$の値は$[ク]$である．
(iii) $a_{10}$の値は$[ケ]$である．

(5)$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．曲線$y=\sin x$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t+\frac{\pi}{2},\ \sin \left( t+\frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線を$\ell$とおく．直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$を$m$とおき，法線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(i) $\displaystyle t=\frac{\pi}{3}$のとき，点$\mathrm{Q}$の座標は$[コ]$である．
(ii) 曲線$y=\sin x$と法線$\ell$および直線$m$で囲まれた部分の面積を$S(t)$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{S(t)}{t}$の値は$[サ]$である．

$a,\ b$は$1$と異なる正の実数で，$ab \neq 1$，$\displaystyle \frac{a}{b} \neq 1$を満たすものとする．
\[ \text{不等式} \quad \log_{ab}a<\log_{\frac{a}{b}} ab \quad \cdots\cdots① \]
について，以下の問いに答えなさい．

(1)$X=\log_a b$とおくとき，$①$を$X$についての不等式で表すと，
\[ \frac{[$1$]}{(1+X)(1-X)}<0 \]
となる．$[$1$]$にあてはまる適切な式を求めなさい．
(2)不等式$①$を満たす点$(a,\ b)$の存在する領域を，座標平面上に図示しなさい．

$a$は$0<a<e$を満たす定数とする．曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$における接線を$\ell$，法線を$m$とおく．以下の問に答えよ．必要ならば$\displaystyle e=\lim_{k \to 0}(1+k)^{\frac{1}{k}}$で，$2.718<e<2.719$であることを用いてよい．

(1)接線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)接線$\ell$が$x$軸と交わる点を$\mathrm{P}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とし，原点を$\mathrm{O}$とする．三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S(a)$とおくとき，$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$0<a<e$の範囲を動くとき，$(2)$の$S(a)$を最大にする$a$の値と$S(a)$の最大値を求めよ．
(4)$a$が$0<a<e$の範囲を動くとき，法線$m$が点$(e,\ 0)$を通るような$a$の値の個数はただ$1$個であることを示せ．

以下の設問の$[　]$に答えなさい．

(1)$a$を$1$より大きな実数，$e$を自然対数の底とし，$f(x)=a^x \log_e a$とする．このとき，曲線$y=f(x)$，直線$x=10$，$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いた式で表すと，$S=[$1$]$となる．
(2)$\displaystyle \sin x-\cos x=\frac{1}{2}$（ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$）のとき，$\sin^4 x-\cos^4 x$の値を求めると$[$2$]$となる．
(3)数列$\{a_n\}$を初項$2$，公差$7$の等差数列，数列$\{b_n\}$を初項$1$，公比$2$の等比数列とし，数列$\{c_n\}$の第$n$項を$c_n=a_nb_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$を用いた式で表すと，$S_n=[$3$]$となる．また，$S_n=133132$となるのは$n=[$4$]$のときである．