整数$m,\ n$は$m \geqq 1$，$n \geqq 2$をみたすとする．次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，$y=\log x$の第$1$次導関数$y^\prime$と第$2$次導関数$y^{\prime\prime}$を求めよ．
(2)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(m,\ \log m)$，$\mathrm{B}(m+1,\ \log m)$，$\mathrm{C}(m+1,\ \log (m+1))$を頂点とする三角形の面積を$S_m$とする．$S_m$を$m$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle f(m)=\log m+S_m-\int_m^{m+1} \log x \, dx$とおく．$f(m)<0$が成り立つことを，$y=\log x$のグラフを用いて説明せよ．
(4)$f(1)+f(2)+\cdots +f(n-1)<0$であることを用いて，不等式
\[ \log 1+\log 2+\cdots +\log (n-1)<n \log n-n+1-\frac{1}{2} \log n \]
を証明せよ．
(5)不等式$\displaystyle n!<e \sqrt{n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$を証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

関数$f(x)$と$g(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
|x \log \abs{x|} & (x \neq 0) \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
0 \phantom{\frac{[　]}{2}} & (x=0)
\end{array} \right. \]
\[ g(x)=-x^2+1 \]
により定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle \log x>-\frac{1}{\sqrt{x}}$が成り立つことを示し，これを用いて$f(x)$は$x=0$で連続であることを示せ．
(2)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)方程式$f(x)=g(x)$の解は$x=-1,\ 1$のみであることを示せ．
(4)$0<r<1$とする．曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$によって囲まれた図形のうち，$x \geqq r$の範囲の部分の面積を$S(r)$とおく．このとき，$\displaystyle \lim_{r \to +0} S(r)$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)標高$376 \, \mathrm{m}$の地点から富士山に登りはじめた．一般に，$2$地点の大気圧の比はその$2$地点の高度差の指数関数である．この日の大気圧は，高度が$850 \, \mathrm{m}$上昇するごとに$10 \, \%$ずつ減少していた．登りはじめた地点の大気圧は$990 \, \mathrm{hPa}$であった．この日の富士山の山頂$3776 \, \mathrm{m}$での大気圧は何$\mathrm{hPa}$か．答は小数第$1$位を四捨五入し，整数で答えよ．
(2)ある店において，原価が$200$円，定価が$350$円の商品$\mathrm{A}$の$1$日の売り上げ総数を$N$とする．$\mathrm{A}$の売り値が定価通りのときには$N=35$であり，定価から原価まで売り値を$10$円下げるごとに，$N$は$5$ずつ増えることがわかっている．また，売り値は定価を超えず，原価も下回らないとする．この店での$1$日の$\mathrm{A}$の売り上げ全体の利益を最大にする売り値と，そのときの$N$を求めよ．
(3)$\log_23,\ \log_47,\ \log_828$を小さい順に並べよ．
(4)空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{C}(-1,\ 0,\ 0)$の定める平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{P}(2,\ 3,\ z)$が平面$\alpha$上にあるとき，$z$の値を求めよ．

$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，$\displaystyle I_k=\int_0^{\log 2} (e^x-1)^k \, dx$とおく．

(1)$0 \leqq x \leqq \log 2$のとき，$\displaystyle 0 \leqq e^x-1 \leqq \frac{x}{\log 2}$が成り立つことを示せ．ただし，$e>2$であることを用いてよい．
(2)$I_k+I_{k+1}$を$k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +(-1)^n \frac{1}{n+1}=I_0+(-1)^n I_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{1}{k+1}$を求めよ．

$3$つの不等式
\[ \log_y (x^2-3x+2) \leqq 1,\quad 0<x \leqq 3,\quad 0<y \leqq 2 \]
を同時にみたす領域を$xy$平面上に図示せよ．さらに，点$(x,\ y)$がこの領域内を動くとき，$3x+4y$の最大値とそれを与える$x,\ y$の値を求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補いなさい．

(1)$1$回の操作で溶液の不純物の$25 \, \%$を除去出来る装置で不純物を除去するとき，この操作を複数回行い，元の不純物の$98 \, \%$以上を除去するには，最低何回以上この操作をする必要があるかを求めると$[　]$回以上．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)中心が$(0,\ 1)$で半径$1$の円がある．下図のように，この円の直径$\mathrm{AB}$と原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と，$x$軸上の点$\mathrm{C}(1,\ 0)$をとる．$\angle \mathrm{AOC}={60}^\circ$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標を$t$（ただし$t>0$）とし，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とするとき，$t$と$S$を求めると$(t,\ S)=[　]$．
（図は省略）
(3)$4$桁の正の整数$n$に対し，千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．$a>b>c>d$を満たす$n$は全部で$p$個あり，$a>c$かつ$b>d$を満たす$n$は全部で$q$個ある．このとき，$p$と$q$を求めると$(p,\ q)=[　]$．

曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{P}(1,\ 0)$における接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$y=\log x$の交点を$\mathrm{R}$とする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$と曲線$y=\log x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{P}(1,\ 0)$における接線と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$y=\log x$の交点を$\mathrm{R}$とする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$と曲線$y=\log x$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

$n$を自然数とする．$5832$を底とする$n$の対数$\log_{5832}n$が有理数であり$\displaystyle \frac{1}{2}<\log_{5832}n<1$を満たすとき，$n$を求めよ．

座標平面上の曲線$C$は媒介変数$t (t \geqq 0)$を用いて$x=t^2+2t+\log (t+1)$，$y=t^2+2t-\log (t+1)$と表される．$C$上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$における$C$の接線の傾きが$\displaystyle \frac{2e-1}{2e+1}$であるとする．ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$と$b$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{Q}$を座標$(b,\ a)$の点とする．直線$\mathrm{PQ}$，直線$y=x$と曲線$C$で囲まれた図形を，直線$y=x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．