次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

方程式$x^2+y^2=1$を満たしながら動く正の実数$x,\ y$がある．

(1)$\sqrt{3}x+y$のとり得る値の最大値は$[フ]$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$，$\displaystyle y=\frac{[マ]}{[ミ]}$である．
(2)$\log_2 x+\log_2 y$のとり得る値の最大値は$[$*$ム]$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[メ]}}{[モ]}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{[ヤ]}}{[ユ]}$である．
(3)$\displaystyle \log_3 x+\log_{\frac{1}{9}} \frac{1}{y}$のとり得る値の最大値は$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラ]} \left( \log_3 [リ]+\frac{[$*$ル]}{[レ]} \right)$であり，そのとき，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{[ロ]}}{[ワ]}$，$\displaystyle y=\frac{\sqrt{[ヲ]}}{[ン]}$である．

次の式を簡単にしなさい．

(1)$\displaystyle \frac{x^2}{x-2}-\frac{4}{x-2}-1$

(2)$\log_{64}4$

次の不定積分および定積分を求めよ．

(1)$\displaystyle \int \log (x+1) \, dx$

(2)$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1-x^2} \, dx$

(3)$\displaystyle \int_0^3 \frac{|x-1| \cdot |x-2|-x^2}{x+1} \, dx$

$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$x$の関数$f_n(x)$を
\[ f_n(x)=\sum_{k=1}^n \frac{{(-1)}^{k-1}}{k}x^k=x+\cdots +\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}x^n \]
で定める．ただし，$0 \leqq x<1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle |f_{n+1| \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)-f_n \left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)} \leqq \frac{1}{1000(n+1)}$を満たすような$n$の最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {f_n}^\prime(x)$を求めよ．
(3)$n$が偶数であるとき，不等式$f_n(x) \leqq \log (x+1)$を示せ．

次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
15 \cdot 2^{2x}-2^{2y}=-64 \\
\log_2 (x+1)-\log_2 (y+3)=-1
\end{array} \right. \]

次の各問に答えよ．

(1)$f(x)=|2x+3|$のとき$f(-3)+f(0)+f(3)$の値を求めよ．
(2)方程式$\log_2 (x-1)+\log_2 (x+2)=2$を解け．
(3)$\left\{ \begin{array}{l}
\sin x+\cos y=1 \\
\cos x+\sin y=\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right.$のとき$\sin (x+y)$の値を求めよ．
(4)$a,\ b,\ x$を実数とする．命題
\[ x^2-(a+b)x+ab \leqq 0 \Longrightarrow x^2<2x+3 \]
が真となるような定数$a,\ b$の満たすべき条件を求めよ．ただし，$a \leqq b$とする．
(5)$a$を定数とし，関数$y=f(x)$は$x=a$で微分可能であるとする．このとき，極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a-2h)}{h} \]
を$f^\prime(a)$を用いて表せ．
(6)関数$f(x)=\log | \cos x |$の導関数を求めよ．
(7)$2$つの曲線$y=\log x$と$y=ax^2$とがただ$1$つの共有点をもつような正の定数$a$の値を求めよ．
(8)等式$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x^2+a}-x-1}{(x-1)^2}=b$が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ．

$x>0$を実数とし，$\displaystyle f(x)=\left( \frac{10}{x} \right)^{45}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(2)$の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$|\log_{10|x-0.3010}<0.01$となる実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数を求めよ．
(3)$d$を定数とする．$|\log_{10|x-0.3010}<d$を満たすすべての実数$x$について，$f(x)$の整数部分の桁数が同じになる．このような性質を持つ定数$d$のとる値の範囲を求めよ．

$a>0$，$\displaystyle b>\frac{1}{2}$とする．$xy$平面上に，

曲線$C_1$：$y=\log x (x>0)$，曲線$C_2$：$y=ax^2-b (x>0)$

がある．$C_1$と$C_2$は点$\mathrm{P}$で接している．$\mathrm{P}$の$x$座標を$b$の関数と考えて$x(b)$とする．$C_1$と$C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$b$の関数と考えて$S(b)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x(b)$を$b$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle S \left( \frac{3}{2} \right)$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{b \to \infty} S(b)=1$となることを示せ．

以下の問いに答えよ．

(1)$x \leqq 5$のとき，不等式$\sqrt{5-x}>x-2$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(2)方程式$\log_2 x+\log_8 x=(\log_2 x)(\log_8 x)$を満たす$x$の値をすべて求めよ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$のとき，不等式
\[ 2(\cos 4x-1) \cos x-3(\cos 3x+\cos x)>0 \]
を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{n+1}<\log \left( 1+\frac{1}{n} \right)<\frac{1}{n}$を証明せよ．ただし，$\log$は自然対数とする．
(2)$(1)$の不等式を使って，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right) \]
(3)$(1)$の不等式を使って，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) \]
(4)区分求積法を使って，次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) \]
(5)次の極限値を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n} \right) \]