「対数」について
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私立 神戸薬科大学 2015年 第4問関数$\displaystyle f(x)=(\log_2 x)^2-\log_2 x^2-1 \left( \frac{1}{4} \leqq x \leqq 8 \right)$がある．
$x=[サ]$のとき，$f(x)$は最大値$[シ]$をとり，
$x=[ス]$のとき，$f(x)$は最小値$[セ]$をとる．
$x=[サ]$のとき，$f(x)$は最大値$[シ]$をとり，
$x=[ス]$のとき，$f(x)$は最小値$[セ]$をとる．
私立 神戸薬科大学 2015年 第3問ビーカー$\mathrm{A}$に濃度$10 \, \%$の食塩水$400 \, \mathrm{g}$が入っている．
\mon[操作] 「ビーカー$\mathrm{A}$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を取り除き，濃度$5 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に加えてよくかき混ぜる」を考える．
この操作を$n$回続けて行ったときのビーカー$\mathrm{A}$の食塩水の濃度を$a_n \, \%$とする．ただし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．
(1)$a_1$を求めると，$a_1=[キ]$である．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと，$a_{n+1}=[ク]$である．
(3)$a_n$を$n$の式で表すと，$a_n=[ケ]$である．
(4)ビーカー$\mathrm{A}$の食塩水の濃度がはじめて$5.001 \, \%$以下となる$n$を求めると，$n=[コ]$である．
\mon[操作] 「ビーカー$\mathrm{A}$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を取り除き，濃度$5 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に加えてよくかき混ぜる」を考える．
この操作を$n$回続けて行ったときのビーカー$\mathrm{A}$の食塩水の濃度を$a_n \, \%$とする．ただし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．
(1)$a_1$を求めると，$a_1=[キ]$である．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと，$a_{n+1}=[ク]$である．
(3)$a_n$を$n$の式で表すと，$a_n=[ケ]$である．
(4)ビーカー$\mathrm{A}$の食塩水の濃度がはじめて$5.001 \, \%$以下となる$n$を求めると，$n=[コ]$である．
私立 名城大学 2015年 第4問数列$\{a_n\}$を$a_n=2^{n+1}-3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める．このとき，定積分
\[ I_n=\int_{a_n}^{a_{n+1}} \{ \log (x+3)-n \log 2 \} \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
について，次の問に答えよ．
(1)$a_{n+1}=\alpha a_n+\beta (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つように，定数$\alpha,\ \beta$の値を定めよ．
(2)$x=\alpha t+\beta$と置くことにより，$I_{n+1}=\alpha I_n$が成り立つことを示せ．
(3)$I_1$を求めよ．
(4)$I_n$を求めよ．
\[ I_n=\int_{a_n}^{a_{n+1}} \{ \log (x+3)-n \log 2 \} \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
について，次の問に答えよ．
(1)$a_{n+1}=\alpha a_n+\beta (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つように，定数$\alpha,\ \beta$の値を定めよ．
(2)$x=\alpha t+\beta$と置くことにより，$I_{n+1}=\alpha I_n$が成り立つことを示せ．
(3)$I_1$を求めよ．
(4)$I_n$を求めよ．
私立 東北学院大学 2015年 第4問自然数$n$に対し，次の問いに答えよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(1)$9^n$が$n$桁の整数となる最大の$n$を求めよ．
(2)${1.2}^n \geqq 10000$を満たす最小の$n$を求めよ．
(1)$9^n$が$n$桁の整数となる最大の$n$を求めよ．
(2)${1.2}^n \geqq 10000$を満たす最小の$n$を求めよ．
私立 東京医科大学 2015年 第4問座標平面における曲線$\displaystyle C_1:y=\tan x \left( -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \right)$と曲線$\displaystyle C_2:y=\frac{12}{7} \cos x$の交点の$x$座標を$x_0$とするとき，
\[ \sin x_0=\frac{[ア]}{[イ]} \]
であり，曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸とで囲まれた図形の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ウ]}{[エ]}+\frac{1}{2} \log \frac{[オ]}{[カキ]} \]
である．ただし，対数は自然対数とする．
\[ \sin x_0=\frac{[ア]}{[イ]} \]
であり，曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸とで囲まれた図形の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ウ]}{[エ]}+\frac{1}{2} \log \frac{[オ]}{[カキ]} \]
である．ただし，対数は自然対数とする．
私立 神奈川大学 2015年 第1問次の空欄$(\mathrm{a})$～$(\mathrm{g})$を適当に補え．
(1)不等式$|3x-5|<2x+1$を満たす$x$の値の範囲は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$t>0$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(t+3,\ t-1)$と$\overrightarrow{b}=(-1,\ t)$が垂直であるとき，$t=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)白い玉が$3$個，赤い玉が$2$個入っている袋がある．袋から玉を$1$つ取り出し色を確かめ袋に戻す操作を$3$回行う．このとき，$2$回以上白い玉が出る確率は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{2h+2}-e^2}{h}=[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$8$つの数の集まり$\{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$を$2$組に分け，それぞれの組に属する数の和を考える．たとえば，
$\{-1,\ 0,\ 2,\ 4,\ 5\} \text{と} \{-2,\ 1,\ 3\}$
という組み分けについては，$10$と$2$である．このとき，
「どんな組み分けについても，少なくとも一方の和は$a$以上である」
という主張が成立するような数$a$のうち最大のものは$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)$\displaystyle \int_1^x \log t \, dt=[$(\mathrm{f])$}$であるので，$\displaystyle f(x)=\int_1^x (x-1) \log t \, dt$のとき，$f^\prime(x)=[$(\mathrm{g])$}$である．
(1)不等式$|3x-5|<2x+1$を満たす$x$の値の範囲は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$t>0$とする．$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(t+3,\ t-1)$と$\overrightarrow{b}=(-1,\ t)$が垂直であるとき，$t=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)白い玉が$3$個，赤い玉が$2$個入っている袋がある．袋から玉を$1$つ取り出し色を確かめ袋に戻す操作を$3$回行う．このとき，$2$回以上白い玉が出る確率は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{2h+2}-e^2}{h}=[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$8$つの数の集まり$\{-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$を$2$組に分け，それぞれの組に属する数の和を考える．たとえば，
$\{-1,\ 0,\ 2,\ 4,\ 5\} \text{と} \{-2,\ 1,\ 3\}$
という組み分けについては，$10$と$2$である．このとき，
「どんな組み分けについても，少なくとも一方の和は$a$以上である」
という主張が成立するような数$a$のうち最大のものは$[$(\mathrm{e])$}$である．
(6)$\displaystyle \int_1^x \log t \, dt=[$(\mathrm{f])$}$であるので，$\displaystyle f(x)=\int_1^x (x-1) \log t \, dt$のとき，$f^\prime(x)=[$(\mathrm{g])$}$である．
私立 岡山理科大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)=2x^3+3x^2-12x-20$の極値を求めよ．
(2)関数$g(x)=2 \log_3 (x+2)+\log_3 (5-2x)$の定義域を求めよ．
(3)関数$g(x)=2 \log_3 (x+2)+\log_3 (5-2x)$の最大値を求めよ．
(1)関数$f(x)=2x^3+3x^2-12x-20$の極値を求めよ．
(2)関数$g(x)=2 \log_3 (x+2)+\log_3 (5-2x)$の定義域を求めよ．
(3)関数$g(x)=2 \log_3 (x+2)+\log_3 (5-2x)$の最大値を求めよ．
私立 東邦大学 2015年 第3問${25}^{25}$の桁数は$[キク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.301$とする．
私立 九州産業大学 2015年 第5問$\displaystyle 0<x \leqq \frac{1}{2}\pi$のとき，関数$f(x)=\{1+\log (\sin x)\} \cos x$，曲線$L:y=f(x)$について考える．
(1)$f(x)=0$のとき$\sin x$の値は$[ア]$と$[イ]$である．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)=[ウ]$である．
(3)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx=[エ]+C$である．ここで$C$は積分定数とする．
(4)曲線$L$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[オ]$である．
(1)$f(x)=0$のとき$\sin x$の値は$[ア]$と$[イ]$である．
(2)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)=[ウ]$である．
(3)不定積分$\displaystyle \int f(x) \, dx=[エ]+C$である．ここで$C$は積分定数とする．
(4)曲線$L$と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[オ]$である．
私立 昭和大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$x$の関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ$f(x)=-x^2+2x+2$，$g(x)=x^2+2x+a$とする．ただし，$a$は定数とする．
$(1$-$1)$ $g(x)<f(x)$を満たす実数$x$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(1$-$2)$ $g(x_1)<f(x_2)$を満たす実数$x_1$および$x_2$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)白球$4$個と黒球$n$個が入った袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，$2$個の球が同色である確率を$p_n$とする．ただし，球はすべて同じ確率で取り出されるものとする．
$(2$-$1)$ $n=3$のとき，$p_n$の値を求めよ．
$(2$-$2)$ $n \geqq 2$とする．このとき，$\displaystyle p_n \geqq \frac{1}{2}$となる整数$n$の最小値を求めよ．
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき，不等式$\sin x+\sqrt{3} \cos x \geqq \sqrt{2}$を解け．
(4)$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．$6^{100}$の桁数を求めよ．
(1)$x$の関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ$f(x)=-x^2+2x+2$，$g(x)=x^2+2x+a$とする．ただし，$a$は定数とする．
$(1$-$1)$ $g(x)<f(x)$を満たす実数$x$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
$(1$-$2)$ $g(x_1)<f(x_2)$を満たす実数$x_1$および$x_2$が区間$-2 \leqq x \leqq 2$に存在するような，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)白球$4$個と黒球$n$個が入った袋から同時に$2$個の球を取り出すとき，$2$個の球が同色である確率を$p_n$とする．ただし，球はすべて同じ確率で取り出されるものとする．
$(2$-$1)$ $n=3$のとき，$p_n$の値を求めよ．
$(2$-$2)$ $n \geqq 2$とする．このとき，$\displaystyle p_n \geqq \frac{1}{2}$となる整数$n$の最小値を求めよ．
(3)$0 \leqq x<2\pi$のとき，不等式$\sin x+\sqrt{3} \cos x \geqq \sqrt{2}$を解け．
(4)$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．$6^{100}$の桁数を求めよ．