次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$つの自然数$p,\ q$が$p^2+pq+q^2=19$を満たすとき，$p+q=[ア]$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$\sin^2 \theta+\cos \theta-1$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S=\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$とすると，$S$の値は$[エ]$である．
(4)方程式$\log_{\sqrt{2}}(2-x)+\log_2 (x+1)=1$の解をすべて求めると，$x=[オ]$である．
(5)等式$\displaystyle f(x)=x^2+3 \int_0^1 f(t) \, dt$を満たす関数は，$f(x)=[カ]$である．
(6)座標空間における$4$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$，$\mathrm{D}(x,\ 4,\ 5)$が同一平面上にあるとき，$x=[キ]$である．
(7)$3$次方程式$x^3-x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$1+i$のとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[コ]$である．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle \int_2^4 (x^2+ax+2) \, dx=\frac{14}{3}$を満たす$a$の値は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)実数$x$が$0<x<1$かつ${(\log_2 x)}^2+\log_2 x-6=0$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(4)$3$次方程式$(x-1)(x^2+ax+a+2)=0$が$2$重解をもつとき，$a$の値をすべて求めると，$[オ]$である．
(5)実数$a,\ b$を用いて$\displaystyle \frac{1}{2+i}+\frac{1}{3+4i}=a+bi$と表すとき，$a=[カ]$であり，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$3$つのさいころを同時に投げるとき，ちょうど$2$つのさいころが同じ目になる確率は$[ク]$である．
(7)ベクトル$(2,\ a,\ b)$が$2$つのベクトル$(1,\ -1,\ 3)$，$(-2,\ 1,\ 1)$に垂直であるとき，$(a,\ b)=[ケ]$である．
(8)底辺の長さが$a$，高さが$b$の三角形が$2a+b=6$を満たすとき，三角形の面積の最大値は$[コ]$である．

「当たり」のカードが$2$枚，「外れ」のカードが$8$枚，計$10$枚のカードが入っている箱がある．この箱を使って，次の試行を行う．
\begin{itemize}
試行$\mathrm{A}$：カードを$1$枚引き，「当たり」の有無を確認して，箱に戻す．
試行$\mathrm{B}$：カードを$2$枚引き，「当たり」の有無を確認して，箱に戻す．
\end{itemize}
$k$を正の整数とし，試行$\mathrm{A}$を$k$回繰り返したとき，

「当たり」の有る試行が，少なくとも$1$回ある確率

を$P(k)$とする．一方，試行$\mathrm{B}$を$k$回繰り返した時に，

$2$枚とも「当たり」である試行が，少なくとも$1$回ある確率

を$Q(k)$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$P(3)$および$Q(2)$を求めよ．
(2)下の常用対数表を用いて，$\log_{10}45$の値を小数点以下$3$位まで求めよ．


\begin{tabular}{c|ccccc}
\hline
$n$ & $2$ & $3$ & $7$ & $11$ & $13$ \\ \hline
$\log_{10}n$ & $0.301$ & $0.477$ & $0.845$ & $1.041$ & $1.114$ \\ \hline
\end{tabular}


(3)$P(10)$と$Q(100)$はどちらが大きいか．根拠を述べて解答せよ．なお，前問の常用対数表を利用してよい．

次の問いに答えよ．

(1)$3$次関数$y=4x^3-12x+1 (-1 \leqq x \leqq \sqrt{3})$のグラフを$G$とする．$k$を実数とし，直線$\ell:y=-3x+k$を考える．$\ell$と$G$が異なる$2$つの共有点をもつための必要十分条件は，
\[ k=[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]} \]
または
\[ [エ]+[オ] \sqrt{[カ]}<k<[キ] \]
である．
(2)不等式$9^{\log_3 x}-3 \cdot 2^{(\log_2 x+2)}+3^3>0$の解は，$[ク]<x<[ケ]$または$[コ]<x$である．
(3)下図のような道がある．

(i) $\mathrm{C}$を経由して，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$[サ]$通りである．
(ii) $\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$[シ]$通りである．

（図は省略）

数列$\{a_n\}$を初項$5 \log_2 3$，公差$\displaystyle -\frac{1}{2} \log_2 3-\frac{1}{2}$の等差数列とする．このとき，

(1)$\displaystyle a_{10}=\frac{[ア]}{[イ]} \log_2 3-\frac{[ウ]}{[エ]},\quad a_{11}=-[オ]$
である．
(2)数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=2^{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めると，これは初項$[カ][キ][ク]$，公比$\displaystyle \frac{\sqrt{[ケ]}}{[コ]}$の等比数列となる．
(3)数列$\{a_n\}$はある$n$より先は負となる．$a_n$が負となる最初の$n$は$[サ]$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{2^x-2^{-x}}{2}$について考える．

(1)$\displaystyle f \left( \log_{\frac{1}{2}} 5 \right)=\frac{[ア][イ]}{[ウ]}$
(2)$\displaystyle f(a)=\frac{4}{3}$をみたす$a$に対して，$2^a=[エ]$
(3)$\displaystyle f(b)=\frac{15}{8}$をみたす$b$に対して，$\displaystyle f(b+\log_2 3)=\frac{[オ][カ][キ]}{[ク][ケ]}$

$p$を正の定数として，関数$f(x)$を
\[ f(x)=-5x^p \log x \quad (x>0) \]
と定める．$a$は$f^\prime(a)=0$を満たす正の実数とする．ここで，$\log x$は自然対数であり，$e$は自然対数の底を表す．また，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数である．

(1)$a$の値を$p$を用いて表せ．
(2)不定積分$\int f(x) \, dx$を求め$p$を用いて表せ．
(3)直線$x=a$と$x$軸，および曲線$y=f(x)$の$a \leqq x \leqq 1$の部分で囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき，
\[ \lim_{p \to +0}S \]
の値を求めよ．必要ならば，$\displaystyle \lim_{u \to +0} \frac{e^{-\frac{1}{u}}}{u}=0$であることを用いてよい．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{5}{6}<\log_{10}7<\frac{6}{7}$であることを用いると，$7^{42}$は$[ア]$桁の整数であることがわかる．さらに，$7^2<50$であることと$\displaystyle \log_{10}2>\frac{3}{10}$であることを用いると，$\displaystyle \log_{10}7<\frac{[イ]}{[ウ]}$であることがわかり，これより，$7^{41}$は$[エ]$桁の整数であることがわかる．
(2)$\log_{10}15$に最も近い値は$[あ]$であり，
$\log_{10}17$に最も近い値は$[い]$であり，
$\log_{10}19$に最も近い値は$[う]$である．

ただし，近似値として，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$を用いてよい．
\begin{screen}
$[あ]$，$[い]$，$[う]$の選択肢：

\begin{tabular}{llll}
$\mathrm{(a)} \ 1.13$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(b)} \ 1.18$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(c)} \ 1.23$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(d)} \ 1.28$ \phantom{AAA} \\
$\mathrm{(e)} \ 1.33$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(f)} \ 1.38$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(g)} \ 1.43$ \phantom{AAA} & $\mathrm{(h)} \ 1.48$ \phantom{AAA}
\end{tabular}

\end{screen}

企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品を同時に開発しており，各新製品の開発に成功する確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$である．すべての開発の結果が出た後に企業$\mathrm{X}$が存続できるための必要十分条件は，$n$個のうち$1$個以上の新製品の開発に成功していることである．ただし，各新製品の開発は独立な試行であるとする．企業$\mathrm{X}$が$n$個の新製品すべての開発に失敗する確率を$p_n$，また企業$\mathrm{X}$が存続できる確率を$q_n$とする．以下では，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．

(1)$p_n,\ q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(2)$q_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{k}{1000}<q_{50}<\frac{k+1}{1000}$を満たす自然数$k$を求めよ．

定数$a$に対し，
\[ f(x)=a \sin 2x-\tan x \quad \left( 0 \leqq x<\frac{\pi}{2} \right) \]
とおく．

(1)$\displaystyle a>\frac{1}{2}$であるとする．実数$\theta$を，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$かつ$f(\theta)=0$を満たすものとするとき，$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．
(2)不定積分
\[ \int f(x) \, dx \]
を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{2}<a<1$であるとする．このとき，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{4}} |f(x)| \, dx+\log a \]
を$a$の$1$次式で表せ．ただし，$\log$は自然対数を表す．